Площа призми: як розрахувати, приклади, вправи

призми є тривимірними фігурами, утвореними дві конгруентні та паралельні основи, основи, в свою чергу, утворені опуклі багатокутники. Інші грані, які названі бічними гранями, утворені паралелограми. Щоб визначити площу призми, необхідно виконати її планування а потім обчислити площу плоскої фігури.

Читайте також: Відмінності між плоскими та просторовими фігурами

Планування призми

Ідея планування полягає у перетворенні тривимірної фігури в двовимірна фігура. На практиці це було б еквівалентно вирізуванню країв призми. Нижче наведено приклад планування трикутної призми.

Той самий процес може бути прийнятий для кожної призмиоднак зауважте, що із збільшенням кількості сторін базових багатокутників завдання стає все складнішим. З цієї причини ми зробимо узагальнення на основі планування цього багатокутник.

Розрахунок бічної площі

Спостерігаючи зображення трикутної призми, маємо, що паралелограми ABFC, ABFD та ACDE є бічні грані. Зверніть увагу, що бічні грані призми завжди будуть паралелограмами незалежно від кількості сторін базових многокутників, це трапляється, оскільки вони паралельні та конгруентні.

Дивлячись на фігуру трикутної призми, ми також бачимо, що у нас є три бічні грані. Це пов’язано з кількістю сторін базового многокутника, тобто якщо основи призми чотирикутник, ми матимемо чотири бічні грані, якщо основи - п’ятикутник, ми матимемо п’ять бічних граней тощо. Отже: кількість сторін базового многокутника впливає на кількість бічних граней призми.

Тому бічна область (A_L) будь-якої призми дається площею бічної грані, помноженою на кількість бічних граней, тобто це площа паралелограма, помножена на кількість сторін грані.

THE_L = (основа · висота) · кількість сторін грані

• Приклад

Обчисліть бічну площу правильної шестикутної призми з базовим ребром, рівним 3 см, і висотою, що дорівнює 11 см.

Призма, про яку йдеться, представлена:

Потім площа сторони обчислюється за площею прямокутника, помноженому на кількість сторін базового многокутника, яке дорівнює 6, отже:

THE_L = (основа · висота) · кількість сторін грані

THE_L = (3 · 11) · 6

THE_L = 198 см²

Розрахунок базової площі

Призми можуть мати різну форму.

THE площа бази (THE_B) призми залежить від багатокутника, який її складає. Оскільки в призмі ми маємо дві паралельні та конгруентні грані, площа основи задається сумою площ площ паралельних многокутників, тобто вдвічі більшою за площу багатокутника.

THE_B = 2 · площа багатокутника

Читайте також:Плоскі фігури райони

• Приклад

Обчисліть площу основи правильної шестикутної призми з ребром основи, рівним 3 см, і висотою, що дорівнює 11 см.

Основою цієї призми є правильний шестикутник, а цей, видно зверху, виглядає так:

Зверніть увагу, що трикутники, що утворюються всередині шестикутника, є рівносторонніми, тому площа шестикутника дається в шість разів більше площа рівностороннього трикутника.

Однак зверніть увагу, що в призмі ми маємо два шестикутники, тож площа основи вдвічі більша за площу багатокутника.

Розрахунок загальної площі

THE загальна площа (A_Т) призми задається сумою бічної площі (THE_L) з базовою площею (THE_B).

THE_Т = A_L + А_B

• Приклад

Обчисліть загальну площу правильної шестикутної призми з базовим ребром, рівним 3 см, і висотою, що дорівнює 11 см.

З попередніх прикладів маємо, що A_L = 198 см² та_B = 27√3 см². Отже, загальна площа дається за формулою:

розв’язані вправи

питання 1 - Сарай має форму призми, яка базується на трапеції, як показано на малюнку.

Ви хочете пофарбувати цей сарай, і відомо, що ціна фарби становить 20 реалів за квадратний метр. Скільки коштуватиме фарбування цього сараю? (Дано: √2 = 1,4)

Рішення

Спочатку визначимо площу сараю. Його основа - трапеція, тому:

Отже, базовою площею є:

THE_B = 2 · А_{трапеція}

THE_B = 2 ·10

THE_B = 20 м²

Червона сторона червоного кольору - це прямокутник, а ми маємо нижню частину, тому ця область така:

THE_V = 2 · 4· 14

THE_V= 112 м²

Площа блакитного кольору - це також прямокутник, але у нас немає його основи. Використання Теорема Піфагора у трикутнику, утвореному трапецією, маємо:

х² = 2² + 2²

х² = 8

x = 2√2

Отже, область прямокутника у синьому кольорі:

THE_THE = 2 ·14·2√2

THE_THE = 54√2 м²

Отже, поперечна площа призми дорівнює:

THE_L = 112 + 54√2

THE_L = 112 + 75,6

THE_L = 187,6 м²

Отже, загальна площа цієї призми становить:

THE_Т= 20 + 187,6

THE_Т= 207,6 м²

Оскільки ціна фарби становить 20 реалів за квадратний метр, сума, витрачена на фарбування сараю, становить:

20 · 207,6 = 4152 реалів

Відповідь: Сума, витрачена на фарбування сараю, становить 4152,00 R $

Робсон Луїс
Вчитель математики

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm