Розглянемо поліноміальне рівняння нижче, де всі коефіцієнти немаєє цілими числами:
немаєхнемає +n-1хn-1 +n-2хn-2 +… +2х2 +1x + a0 = 0
О Теорема про раціональні корені гарантує, що якщо це рівняння допускає раціональне число P/що як корінь (с P
, що 
і mdc (p, q) = 1), тоді 0 ділиться на P і немає ділиться на що.
Коментарі:
1º) Теорема про раціональні корені не гарантує, що поліноміальне рівняння має коріння, але якщо вони існують, теорема дозволяє нам ідентифікувати всі коріння рівняння;
2º) якщо немає= 1 а інші коефіцієнти - це цілі числа, рівняння має лише цілі корені.
3°) якщо q = 1 і існують раціональні корені, цілі і подільники 0.
Застосування теореми про раціональні корені:
Давайте використаємо теорему, щоб знайти всі корені поліноміального рівняння 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Спочатку визначимо можливі раціональні корені цього рівняння, тобто коріння форми P/що. Відповідно до теореми, 0 ділиться на P; таким чином, як 0 = 12, то можливі значення P складають {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Аналогічно, ми повинні
немає ділиться на що і немає = 2, тоді що може мати такі значення: {± 1, ± 2}. Отже, ділимо значення на P за що, отримуємо можливі значення P/що коріння рівняння: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Щоб підтвердити, що знайдені нами значення насправді є коренем поліноміального рівняння, давайте підставимо кожне значення замість х рівняння. Наскрізь алгебраїчне числення, якщо поліном доходить до нуль, отже, підставлене число насправді є коренем рівняння.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Для x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Для x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Для x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Для x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Для x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Для x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Для x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Для x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Для x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Для x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Для x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Для х = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Для x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Для x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Для x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Для x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Отже, корені поліноміального рівняння 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 вони є {– 3, – 2, ½, 2}. Наскрізь теорема про розклад поліномів, ми можемо записати це рівняння як (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Автор: Аманда Гонсалвес
Закінчив математику
Хотіли б ви посилатися на цей текст у школі чи академічній роботі? Подивіться:
РІБЕЙРО, Аманда Гонсалвес. "Теорема раціональних коренів"; Бразильська школа. Доступно: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Доступ 28 червня 2021 року.
