О Трикутник Паскаля це досить старий математичний інструмент. Протягом історії він отримав кілька назв, але найбільш прийнятих сьогодні арифметичний трикутник і трикутник Паскаля. Друга назва - данина пам'яті математику, який зробив кілька внесків у вивчення цього трикутника. означає, що трикутник був винайдений ним самим, але він був тим, хто глибше вивчив це інструмент.
З властивостей трикутника Паскаля можна побудувати його логічно. Також виділяється ваш відносини з комбінації вивчався в комбінаторному аналізі. Члени трикутника Паскаля також відповідають біноміальним коефіцієнтам, і тому він дуже корисний для обчислення будь-якого двочлена Ньютона.
Читайте також: Пристрій Бріо-Руффіні - метод ділення многочленів
Побудова трикутника Паскаля
Трикутник Паскаля отримується з результату комбінаційоднак існує практичний метод, який полегшує спосіб його побудови. Перший рядок і перший стовпець зараховуються як нульовий рядок і нульовий стовпець. Ми можемо використовувати скільки завгодно рядків
у цій конструкції, тому трикутник може мати нескінченні прямі. Міркування щодо опрацювання рядків завжди однакові. Подивіться:
Ми це знаємо терміни трикутника - це комбінації, навчався в комбінаторний аналіз. Для заміни трикутника Паскаля на числові значення ми знаємо, що комбінації числа з нулем і числа із самим собою завжди дорівнюють 1. Отже, перше і останнє значення завжди дорівнюють 1.
Щоб знайти інші, ми починаємо з рядка 2, оскільки рядок 0 і рядок 1 вже завершені. У рядку 2, щоб знайти комбінацію від 2 до 1, у рядку вище, тобто в рядку 1, додамо термін над ним у той самий стовпець і термін над ним у попередньому стовпці, як показано на зображенні :
Після побудови лінії 2 можна побудувати лінію 3, виконуючи ту саму процедуру.
Продовжуючи цю процедуру, ми знайдемо всі умови - в даному випадку, до рядка 5 - але можна побудувати стільки рядків, скільки потрібно.
Властивості трикутника Паскаля
Є такі властивості трикутника Паскаля, через регулярність його побудови. Ці властивості корисні для роботи з комбінаціями, побудови самих ліній трикутника та суми ліній, стовпців та діагоналей.
1-а властивість
Першим властивістю було те, що ми використовували для побудови трикутника. Так щоб знайти член у трикутнику Паскаля, просто додайте термін, який знаходиться в рядку над ним, і той самий стовпець із терміном, який знаходиться в стовпці та рядку перед ним. Цю властивість можна представити наступним чином:
Ця властивість відома як Відносини Штіфеля і важливо полегшити побудову трикутника і знайти значення кожної з прямих.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
2-а властивість
Сума всіх доданків підряд обчислюється за формулою:
sнемає=2немає, про те, що немає - номер рядка.
Приклади:
З цією властивістю це можна знати сума всіх доданків у рядку без необхідності будувати трикутник Паскаля. Суму рядка 10, наприклад, можна обчислити за допомогою 210 = 1024. Незважаючи на те, що відомі не всі терміни, вже можна дізнатися сумарне значення всього рядка.
3-а властивість
Сума термінів, послідовність яких розпочата з початку даного стовпця P до певної лінії немає те саме, що термін на лінії n +1 спинка і колонка p +1 пізніше, як показано нижче:
4 властивість
Сума діагоналі, яка починається з стовпця 0 і переходить до терміна в стовпці p і рядку n, дорівнює терміну в тому ж стовпці (p), але в рядку нижче (n + 1), як показано на зображенні :
5-те властивість
У лініях трикутника Паскаля є симетрія. Перший і другий доданки рівні, другий і передостанній - однакові тощо.
Приклад:
Рядок 6: 1615 20 156 1.
Зверніть увагу, що доданки дорівнюють два-два, крім центрального.
Дивіться також: Поліноміальне ділення: як його вирішити?
Біном Ньютона
Визначимо біном Ньютона a сила одного багаточлен який має два терміни. Обчислення бінома пов'язане з трикутником Паскаля, який стає механізмом для обчислення того, що ми називаємо біноміальними коефіцієнтами. Для обчислення двочлена використовуємо наступну формулу:
Зверніть увагу, що значення показника ступеня вона зменшується, поки в останній термін вона не дорівнює 0. Ми знаємо, що кожне число, підняте до 0, дорівнює 1, тому доданок не з’являється в останній термін. Також зверніть увагу, що показник степеня B починається з B0, найближчим часом B не з’являється в перший термін і збільшується до досягнення Bнемає, в останній термін.
Крім того, число, що супроводжує кожен із доданків, є тим, що ми називаємо коефіцієнтом - в даному випадку відомим як біноміальний коефіцієнт. Щоб краще зрозуміти, як розв’язати цей біноміал, перейдіть до нашого тексту: Біном Ньютона.
біноміальний коефіцієнт
Біноміальний коефіцієнт - це не що інше, як комбінація, яку можна обчислити за формулою:
Однак, щоб полегшити обчислення двочлена Ньютона, важливо використовувати трикутник Паскаля, оскільки він швидше дає нам результат комбінації.
Приклад:
Щоб знайти результат біноміального коефіцієнта, знайдемо значення рядка 5 трикутника Паскаля, які дорівнюють {1,5,10,10,5,1}.
(х + у)5= 1x5+ 5x4y + 10x3р2+ 10x2р3 + 5xy4+ 1 рік5
Простіше кажучи:
(х + у)5= х5+ 5x4y + 10x3р2+ 10x2р3 + 5xy4+ y5
розв’язані вправи
Питання 1 - Значення виразу нижче -?
А) 8
Б) 16
В) 2
Г) 32
Д) 24
Дозвіл
Альтернатива А.
Перегрупуючи позитивні та негативні значення, ми повинні:
Зверніть увагу, що ми фактично обчислюємо віднімання між рядком 4 і рядком 3 трикутника Паскаля. За властивістю ми знаємо, що:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Питання 2 - Яке значення виразу нижче?
А) 32
Б) 28
В) 256
Г) 24
Д) 54
Дозвіл
Альтернатива Б.
Зверніть увагу, що ми додаємо умови з стовпця 1 трикутника Паскаля до рядка 7, а потім до третього властивість, значення цієї суми дорівнює терміну, який займає рядок 7 + 1 і стовпець 1 + 1, тобто рядок 8, графа 2. Оскільки нам потрібне лише одне значення, побудова всього трикутника Паскаля не зручна.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
