Транспонована матриця: що це, властивості, приклади

THE транспонована матриця матриці M - матриця M^т. мова йде про штаб що ми збираємось отримати коли ми переписуємо матрицю M, змінюючи положення рядків і стовпців, перетворюючи перший рядок M у перший стовпець M^т, другий рядок М у другому стовпці М^т, і так далі.

Якщо матриця M має м ліній і немає стовпці, транспонована матриця, тобто M^т, матиму немає ліній і м колонки. Існують специфічні властивості транспонованої матриці.

Читайте також: Що таке трикутна матриця?

Як отримується транспонована матриця?

Дано матрицю A_mxn, ми знаємо як матрицю, транспоновану з A в матрицю A^т_{n x m}. Щоб знайти транспоновану матрицю, просто змініть положення рядків і стовпців матриці А. Яким би не був перший рядок матриці A, це буде перший стовпець транспонованої матриці A^т, другий рядок матриці A буде другим стовпцем матриці A^т, і так далі.

Нехай алгебраїчно нехай M = (m_ij)_mxn , транспонована матриця M дорівнює M^т = (м_ji) _{n x m}.

Приклад:

Знайдіть матрицю, транспоновану з матриці:

Матриця M - це матриця 3x5, тому її транспонування буде 5x3.

Щоб знайти транспоновану матрицю, ми зробимо перший рядок матриці M першим стовпцем матриці M^т.

Другий рядок матриці M буде другим стовпцем транспонованої матриці:

Нарешті, третій рядок матриці M стане третім стовпцем матриці M.^т:

симетрична матриця

Виходячи з концепції транспонованої матриці, можна визначити, що таке симетрична матриця. Матриця відома як симетрична коли вона дорівнює вашій транспонованій матриці, тобто з огляду на матрицю M, M = M^т.

Щоб це сталося, матриця повинна бути квадратною, що означає, що для того, щоб матриця була симетричною, кількість рядків повинна дорівнювати кількості стовпців.

Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)

Приклад:

Коли ми аналізуємо терміни над основною діагоналлю та терміни під основною діагоналлю матриці S, можна помітити, що існують такі терміни вони однакові, що робить його відомим як симетричний саме через симетрію матриці щодо головної діагоналі.

Якщо ми знайдемо транспонування матриці S, можна побачити, що S^т дорівнює S.

Як S = S^т, ця матриця є симетричною.

Дивіться також: Як вирішити лінійні системи?

Властивості транспонованої матриці

Властивості транспонованої матриці

• 1-а властивість: транспонування транспонованої матриці дорівнює самій матриці:

(М.^т)^т = М

• 2-а властивість: транспонування суми між матрицями дорівнює сумі транспонування кожної з матриць:

(M + N)^т = М^т + N^т

• 3-я властивість: транспонування множення між двома матрицями дорівнює множенню транспонування кожної з матриць:

(M · N)^т = М^т · N^т

• 4 властивість: О детермінанта матриці дорівнює визначнику транспонованої матриці:

det (M) = det (M^т)

• 5-а властивість: транспонування матриці в рази константи дорівнює матриці транспонування в рази константи:

(кА)^т = кА^т

Обернена матриця

Концепція зворотної матриці досить сильно відрізняється від концепції матриці, що транспонується, і важливо підкреслити різницю між ними. Інверсною матрицею матриці M є матриця M^-1, де добуток між М і М матрицями^-1 дорівнює матриці ідентичності.

Приклад:

Щоб дізнатись більше про цей тип матриць, прочитайте наш текст: Обернена матриця.

протилежна матриця

Будучи ще одним випадком спеціальної матриці, матриця, протилежна матриці M, є матрицею -M. Ми знаємо як протилежну матрицю M = (m_ij) матриця -M = (-m_ij). Протилежна матриця складається з протилежних членів матриці М.

розв’язані вправи

Питання 1 - (Чесгранріо) Розглянемо матриці:

Позначаємо через A^т транспонована матриця А. Матриця (A^тA) - (B + B^т) é:

Дозвіл

Альтернатива С

Спочатку ми знайдемо матрицю A^т і матриця B^т:

Отже, ми маємо:

Тепер обчислюємо B + B^т:

Нарешті ми обчислимо різницю між A · A^т і B + B^т:

Питання 2 - (Cotec - адаптоване) Дані матриці A і B, що множать A · B^т, ми отримуємо:

Дозвіл

Альтернатива С

Спочатку ми знайдемо транспоновану матрицю B:

Добуток між матрицями A і B^т це те саме, що:

Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики

Хотіли б ви посилатися на цей текст у школі чи академічній роботі? Подивіться:

ОЛІВЕЙРА, Рауль Родрігес де. «Транспонована матриця»; Бразильська школа. Доступно: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-transposta.htm. Доступ 28 червня 2021 року.

Правило Крамера

Матриця, Визначник, Розділення системи, Правило Крамера, Застосування правила Крамера, Як застосовувати правило Крамера, Невідомі системи.