До середини 16 століття рівняння типу x2 - 6x + 10 = 0 просто вважалися “відсутністю рішення”. Це було тому, що, згідно з формулою Баскари, при розв’язанні цього рівняння знайдений результат буде:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Проблему було знайдено в № 4, яка не має рішення у множині дійсних чисел, тобто ні існує дійсне число, яке, помножене на себе, дає √– 4, оскільки 2 · 2 = 4 і (–2) (- 2) = 4.
У 1572 р. Рафаель Бомбеллі був зайнятий вирішенням рівняння х3 - 15x - 4 = 0 за формулою Кардано. За допомогою цієї формули робиться висновок, що це рівняння не має реальних коренів, оскільки в підсумку необхідно обчислити √– 121. Однак після кількох спроб можна виявити, що 43 - 15 · 4 - 4 = 0, а отже, що x = 4 є коренем цього рівняння.
Враховуючи існування справжніх коренів, не виражених формулою Кардано, Бомбеллі мав ідею припустити що √– 121 призведе до √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1, і це може бути «нереальним» коренем для рівняння вивчали. Таким чином, √– 121 було б частиною нового типу числа, що складає інші незрозумілі корені цього рівняння. Тож рівняння х
3 - 15x - 4 = 0, який має три корені, мав би x = 4 як справжній корінь і два інші корені, що належать до цього нового типу числа.Наприкінці 18 століття Гаус назвав ці цифри як комплексні числа. На той час комплексні числа вже набували форми a + bi, з i = √– 1. Крім того, і B їх уже вважали точками декартової площини, відомої як площина Аргана-Гауса. Таким чином, комплексне число Z = a + bi мало своїм геометричним зображенням точку P (a, b) декартової площини.
Тому вираз “комплексні числа”Почав застосовуватись щодо числового набору, представниками якого є: Z = a + bi, з i = √– 1 і з і B належність до множини дійсних чисел. Це подання називається алгебраїчна форма комплексного числа Z.
Оскільки комплексні числа утворені двома дійсними числами, а одне з них множиться на √– 1, ці дійсні числа отримали спеціальну назву. Враховуючи комплексне число Z = a + bi, a є "дійсною частиною Z", а b - "уявною частиною Z". Математично ми можемо записати відповідно: Re (Z) = a та Im (Z) = b.
Ідея модуля комплексного числа кристалізується аналогічно ідеї модуля дійсного числа. Розглядаючи точку P (a, b) як геометричне зображення комплексного числа Z = a + bi, відстань між точкою P і точкою (0,0) визначається:
| Z | = √(The2 + b2)
Другий спосіб представити комплексні числа - це Полярна або тригонометрична форма. Ця форма використовує модуль комплексного числа у своїй структурі. Комплексне число Z, алгебраїчно Z = a + bi, можна представити в полярній формі:
Z = | Z | · (cosθ + icosθ)
Цікаво відзначити, що декартова площина визначається двома ортогональними лініями, відомими як осі х та у. Ми знаємо, що дійсні числа можна представити лінією, на якій розміщені всі раціональні числа. Решта місця заповнюються ірраціональними числами. Тоді як реальні числа знаходяться на прямій, відомій як Вісь X з декартової площини всі інші точки, що належать цій площині, були б різницею між комплексними числами та дійсними числами. Таким чином, множина дійсних чисел міститься у множині комплексних чисел.
Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm