Один поліноміальне рівняння характеризується наявністю багаточлен дорівнює нулю. Його можна охарактеризувати ступенем багаточлена, і чим більший цей ступінь, тим більший ступінь складності у пошуку його розв’язку або кореня.
У цьому контексті також важливо зрозуміти, що таке фундаментальна теорема алгебри, яка стверджує це кожне поліноміальне рівняння має принаймні одне комплексне рішення, іншими словами: рівняння ступеня один матиме принаймні одне рішення, рівняння ступеня два матиме щонайменше два рішення тощо.
Читайте теж: Які класи багаточленів?
Що таке поліноміальне рівняння
Поліноміальне рівняння характеризується наявністю полінома, рівного нулю, таким чином, кожен вираз типу P (x) = 0 є поліноміальним рівнянням, де P (x) - багаточлен. Дивіться нижче загальний випадок поліноміального рівняння та деякі приклади.
Розглянемонемає, an -1, a n -2,..., The1, a0 та х дійсних чисел, і n - ціле додатне число, наступний вираз є поліноміальним рівнянням ступеня n.
- Приклад
Наступні рівняння є поліномами.
а) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
б) 5x2 – 3 = 0
в) 6x - 1 = 0
г) 7x3 - х2 + 4х + 3 = 0
Як і поліноми, поліноміальні рівняння мають свій ступінь. Щоб визначити ступінь поліноміального рівняння, просто знайдіть найбільшу потужність, коефіцієнт якої відрізняється від нуля. Отже, рівняння попередніх пунктів є відповідно:
а) Рівняння від четвертий ступінь:3х4+ 4x2 – 1 = 0.
б) Рівняння від вища школа:5х2 – 3 = 0.
в) Рівняння від перший ступінь:6х – 1 = 0.
г) Рівняння від третій ступінь: 7х3- х2 + 4х + 3 = 0.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Як вирішити поліноміальне рівняння?
Метод розв’язування поліноміального рівняння залежить від його ступеня. Чим більший ступінь рівняння, тим складніше його розв’язати. У цій статті ми покажемо метод розв'язування поліноміальних рівнянь перший ступінь, другий ступінь та біскверт.
Поліноміальне рівняння першого ступеня
Поліноміальне рівняння першого ступеня описується a поліном 1 ступеня. Тож ми можемо написати рівняння першого ступеня, загалом, наступним чином.
Розглянемо два дійсних числа і B з ≠ 0, наступний вираз є поліноміальним рівнянням першого ступеня:
сокира + b = 0
Для розв’язання цього рівняння ми повинні використовувати принцип еквівалентності, тобто все, що оперується однією стороною рівності, повинно діяти і з іншої сторони. Щоб визначити розв’язок рівняння першого ступеня, ми повинні ізолювати невідоме. Для цього першим кроком є усунення B на лівій стороні рівності, а потім віднятивесла b з обох сторін рівності.
сокира + b - Б = 0 - Б
сокира = - b
Зверніть увагу, що значення невідомого x не є ізольованим, коефіцієнт a потрібно виключити з лівої частини рівності, а для цього поділимо обидві сторони на .
- Приклад
Розв’яжіть рівняння 5x + 25 = 0.
Для вирішення проблеми ми повинні використовувати принцип еквівалентності. Для полегшення процесу ми опустимо запис операції на лівій стороні рівності, будучи еквівалентно тоді сказати, що ми збираємось «передати» число в іншу сторону, змінивши знак (обернена операція).
Дізнайтеся більше про розв’язування цього типу рівнянь за допомогою нашого тексту: Рівняння першого ступеня з невідомим.
Поліноміальне рівняння другого ступеня
Поліноміальне рівняння другого ступеня має характеристику a поліном другого ступеня. Отже, розглянемо дійсні числа a, b і c з a ≠ 0. Рівняння другого ступеня дається:
сокира2 + bx + c = 0
Ваше рішення можна визначити, використовуючи метод бхаскара або шляхом факторингу. Якщо ви хочете дізнатись більше про рівняння цього типу, прочитайте: Рівняннядія sдруге grau.
→ Метод Баскари
Використовуючи метод Бхаскари, його коріння даються за такою формулою:
- Приклад
Визначте розв’язок рівняння х2 - 3x + 2 = 0.
Зауважимо, що коефіцієнти рівняння складають, відповідно, a = 1, b = - 3 і c = 2. Замінюючи ці значення у формулі, ми маємо:
→ Факторизація
Зверніть увагу, що можна врахувати вираз х на множник2 - 3x + 2 = 0, використовуючи ідею множник на множники.
х2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Зауважте тепер, що у нас добуток дорівнює нулю, а добуток дорівнює нулю лише в тому випадку, якщо один із факторів дорівнює нулю, тому ми маємо:
x - 2 = 0
х = 2
або
x - 1 = 0
x = 1
Дивіться, що ми знайшли рішення рівняння за допомогою двох різних методів.
біквадратне рівняння
THE рівняння бісквера це приватний випадок поліноміального рівняння четвертого ступеня, як правило, рівняння четвертого ступеня буде записано у вигляді:
сокира4 + bx3 + коробка2 + dx + e = 0
де цифри а Б В Г і і дійсні з ≠ 0. Рівняння четвертого ступеня вважається бісквадером, коли коефіцієнти b = d = 0, тобто рівняння має вигляд:
сокира4 + коробка2 + і = 0
Подивіться в прикладі нижче, як вирішити це рівняння.
- Приклад
Розв’яжіть рівняння x4 - 10x2 + 9 = 0.
Для розв’язання рівняння ми будемо використовувати наступну невідому зміну, і всякий раз, коли рівняння буде двокутним, ми будемо робити цю зміну.
х2 = р
З рівняння бі-квадрата зверніть увагу, що x4 = (x2)2 і тому ми повинні:
х4 - 10x2 + 9 = 0
(х2)2 – 10х2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Побачте, що тепер у нас є поліноміальне рівняння другого ступеня, і ми можемо використати метод Баскари, наприклад:
Однак ми повинні пам’ятати, що на початку вправи було внесено невідому зміну, тому ми повинні застосувати значення, знайдене в заміні.
х2 = р
Для p = 9 ми повинні:
х2 = 9
x ’= 3
або
x ’’ = - 3
Для p = 1
х2 = 1
x ’= 1
або
x ’’ = - 1
Отже, набір рішень рівняння Біскваре є:
S = {3, –3, 1, –1}
Читайте також: Практичний пристрій Бріо-Руффіні - ділення багаточленів
Фундаментальна теорема алгебри (TFA)
Фундаментальна теорема алгебри (TFA), доведена Гаусом в 1799 р., Стверджує, що кожне поліноміальне рівняння, як зазначено нижче, має принаймні один складний корінь.
Корінь поліноміального рівняння - це його рішення, тобто невідоме значення - це те, що робить рівність істинною. Наприклад, рівняння першого ступеня має вже визначений корінь, як і рівняння другого ступеня, яке має щонайменше два корені, та бісквере, яке має щонайменше чотири корені.
розв’язані вправи
питання 1 - Визначте значення x, яке робить рівність істинною.
2x - 8 = 3x + 7
Дозвіл
Зауважимо, що для розв’язання рівняння необхідно його упорядкувати, тобто залишити всі невідомі на лівій частині рівності.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- х = 15
За принципом еквівалентності ми можемо помножити обидві сторони рівності на одне і те ж число, а оскільки ми хочемо з’ясувати значення x, то помножимо обидві сторони на –1.
(–1)- х = 15(–1)
х = - 15
питання 2 - Маркос має на 20 доларів більше, ніж Жоао. Разом їм вдається придбати дві пари кросівок вартістю 80 доларів за кожну пару і не залишивши грошей. Скільки реалів у Джона?
Дозвіл
Припустимо, що у Марка х реалів, як у Івана на 20 реалів більше, тож він має х + 20.
Позначки → x реальних
Жоао → (x + 20) реалій
як вони купували дві пари кросівок які коштують 80 реалів кожен, тому, якщо ми складемо деталі кожного з них, нам доведеться:
x + (x + 20) = 2 · 80
х + х = 160 - 20
2x = 140
Тому Марк мав 70 реалів, а Жоао - 90 реалів.
Робсон Луїс
Вчитель математики
