Походження i у квадраті дорівнює -1

При вивченні комплексних чисел ми стикаємось із такою рівністю: i2 = – 1.
Обґрунтування цієї рівності, як правило, пов’язане з розв’язанням рівнянь 2-го ступеня з від’ємними квадратними коренями, що є помилкою. Походження виразу i2 = - 1 з’являється у визначенні комплексних чисел, ще одне питання, яке також викликає багато сумнівів. Давайте зрозуміємо причину такої рівності та як вона виникає.
Спочатку давайте зробимо деякі визначення.
1. Впорядкована пара дійсних чисел (x, y) називається комплексним числом.
2. Комплексні числа (x1р1) та (x2р2) рівні тоді і лише тоді, коли x1 = х2 та y1 = y2.
3. Додавання та множення комплексних чисел визначаються:
1р1) + (x2р2) = (x1 + х2р1 + y2)
1р1) * (x2р2) = (x1* х2 - y1* р2, х1* р2 + y1* х2)
Приклад 1. Розглянемо z1 = (3, 4) та z2 = (2, 5), обчисліть z1 + z2 та z1* z2.
Рішення:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Використовуючи третє визначення, легко показати, що:
1, 0) + (x2, 0) = (x

1 + х2, 0)
1, 0) * (x2, 0) = (x1* х2, 0)
Ці рівності показують, що стосовно операцій додавання та множення комплексні числа (x, y) поводяться як дійсні числа. У цьому контексті ми можемо встановити такий взаємозв'язок: (x, 0) = x.
Використовуючи це відношення та символ i для представлення комплексного числа (0, 1), ми можемо записати будь-яке комплексне число (x, y) таким чином:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy →, що є звичайною формою виклику комплексного числа.
Таким чином, комплексне число (3, 4) у нормальній формі стає 3 + 4i.
Приклад 2. Запишіть наступні комплексні числа у звичайній формі.
а) (5, - 3) = 5 - 3i
б) (- 7, 11) = - 7 + 11i
в) (2, 0) = 2 + 0i = 2
г) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Тепер зауважте, що ми називаємо i комплексним числом (0, 1). Давайте подивимося, що відбувається при створенні i2.
Ми знаємо, що i = (0, 1) і що i2 = i * i. Дотримуйтесь цього:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Використовуючи визначення 3, ми матимемо:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Як ми бачили раніше, кожне комплексне число виду (x, 0) = x. Таким чином,
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Ми дійшли до знаменитої рівності i2 = – 1.

Марсело Рігонатто
Фахівець зі статистики та математичного моделювання
Шкільна команда Бразилії

Комплексні числа - Математика - Бразильська школа

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm

Google робить революцію в пошуковій системі та оголошує неймовірні новини цього року

Починаючи з цього тижня, деякі користувачі Google матиме можливість спробувати різноманітні резул...

read more

Чим корисний чорний чай? Перевірте свої стосунки довголіттям

Один вивчення опублікований 30 серпня, розкриває переваги та стверджує, що чорний чай може бути ч...

read more

Підлітки, які сплять пізно, мають різний розвиток мозку

Підлітки часто недбало ставляться до власного здоров’я, зокрема до сну. Зрештою, хто не знає хлоп...

read more