Теорема Д'Аламбера

Теорема Д'Аламбера є безпосереднім наслідком теореми про залишок, яка стосується поділу полінома на біном типу x - a. Теорема про залишок говорить, що поліном G (x), поділений на біном x - a, матиме залишок R, рівний P (a), для
x = a. Французький математик Д'Аламбер довів, беручи до уваги вищезазначену теорему, що поліном будь-яке Q (x) буде ділитися на x - a, тобто залишок від ділення буде дорівнює нулю (R = 0), якщо P (a) = 0.
Ця теорема полегшила обчислення ділення багаточлена на біном (x –a), тому не потрібно розв’язувати весь ділення, щоб знати, чи рівна річ або рівна нулю.
Приклад 1
Обчисліть залишок від ділення (x² + 3x - 10): (x - 3).
Як говорить теорема Д'Аламбера, залишок (R) цього поділу буде дорівнює:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Тож решта цього ділення становитиме 8.
Приклад 2
Перевірте, якщо x⁵ - 2x⁴ + х³ + x - 2 ділиться на x - 1.
За Д’Аламбертом, багаточлен ділиться на біном, якщо P (a) = 0.
P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2

Р (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Оскільки P (1) ненульовий, то поліном не буде ділитися на біном x - 1.
Приклад 3
Обчисліть значення m так, щоб залишок від ділення багаточлена
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 на x - 2 дорівнює 6.
Маємо, що R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
Р (2) = 2⁴ - м * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - м * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8м + 20 + 2 - 3 = 6
- 8м = 6 - 38 + 3
- 8м = 9 - 38
- 8м = - 29
м = 29/8
Приклад 4
Обчисліть залишок від ділення 3x многочлена³ + х² - 6x + 7 на 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (ммк)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

Марк Ной
Закінчив математику
Шкільна команда Бразилії

Поліноми - Математика - Бразильська школа

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm