Sen irrasyonel sayılar uzun süre matematikçilerde büyük rahatsızlık yarattı. Bugün, zaten iyi tanımlanmış olan bir irrasyonel sayı olarak biliyoruz. ondalık gösterim her zaman periyodik olmayan bir ondalık sayıdır. İrrasyonellerin temel özelliği ve onları rasyonel sayılardan farklı kılan, ile temsil edilemez kesir.
Pisagor teoremini içeren problemler hesaplanırken kesin olmayan kökler bulunduğunda irrasyonel sayılar çalışması derinleştirildi. Bu kesin olmayan köklere çözüm arama eylemi, kesin olmayan ondalıkların varlığını dikkat çekici hale getirdi. periyodik, yani ondalık kısmı sonsuz olan ve iyi bir sıraya sahip olmayan sayıların. tanımlı. Ana irrasyonel sayılar, periyodik olmayan ondalık sayılar, tam olmayan kökler ve π'dir.
Siz de okuyun: Karekök - radikal indeksin 2 olduğu köklenme durumu
İrrasyonel sayılar kümesi
İrrasyonel sayıların incelenmesinden önce sayı kümeleri çalışıldı. doğal, tamsayılar ve rasyoneller. Dikdörtgen üçgenin incelenmesine daha derinden inildiğinde, açıkça ortaya çıktı.
kesin çözümü olmayan bazı kökler var, özellikle kesin olmayan kök çözümlerin sayılar olduğunu görmek mümkündü. periyodik olmayan ondalık olarak bilinir.Bu huzursuzluğun ortasında, birçok matematikçi, kesin olmayan köklerin rasyonel sayılar olduğunu ve başarısız bir şekilde kanıtlamaya çalıştı. kesir olarak gösterilebilir, ancak fark edilen bu sayıların bu şekilde temsil edilemeyeceğiydi. form. Şimdiye kadar rasyonel sayılar kümesi bu sayıları içermediğinden, irrasyonel sayılar kümesi olarak bilinen yeni bir küme oluşturma ihtiyacı doğdu.
Bir sayı, ondalık gösterimi periyodik olmayan bir ondalık sayı olduğunda irrasyoneldir. |
İrrasyonel sayılar nelerdir?
İrrasyonel bir sayı olması için tanımı karşılaması gerekir, yani ondalık gösterimi periyodik olmayan bir ondalık sayıdır. Periyodik olmayan ondalık sayıların temel özelliği, irrasyonel sayıların rasyonel sayıların tersi olduğunu gösteren bir kesir ile temsil edilememeleridir.
Bu özelliğe sahip ana sayılar, kökler kesin değil.
Örnekler:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Kesin olmayan kök çözümleri ararken, yani bu sayıların ondalık gösterimini gerçekleştirirken, her zaman bu sayıları kümenin elemanları yapan periyodik olmayan bir ondalık sayı bulacağız. mantıksız.
Kesin olmayan köklere ek olarak, periyodik olmayan ondalık sayılar da vardır, örneğin, kesin olmayan kökleri hesaplarsak, periyodik olmayan bir ondalık sayı buluruz.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
İrrasyonel sayılar genellikle Yunan harfleriyle temsil edilir, çünkü tüm ondalık basamaklarını yazmak mümkün değildir.
Birincisi, π (okuyun: pi), dairelerin alan ve çevresinin hesaplanmasında bulunur. Şuna eşit bir değere sahiptir 3,1415926535…
π'ye ek olarak, çok yaygın bir diğer sayı ϕ'dir (okuyun: fi). ile ilgili problemlerde bulunur. oran altın. 1.618033'e eşit bir değere sahiptir...
Ayrıca bakınız: Asal sayılar nelerdir?
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
rasyonel ve irrasyonel sayı
Sayı kümelerini analiz ederken, Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıları birbirinden ayırmak önemlidir.. Bu iki kümenin birleşimi, matematikte en çok çalışılan kümelerden birini, gerçekler kümesini, yani gerçek sayılar kesir (rasyonel) olarak gösterilebilen sayıların, kesir (irrasyonel) olarak gösterilemeyen sayılarla birleştirilmesidir.
setinde rasyonel sayılar, tamsayılar, doğal olanlar, tam ondalık sayılar ve periyodik ondalık sayılar vardır.
Rasyonel sayılara örnekler:
-60 → tam sayı
2.5 → tam ondalık
5.1111111… → periyodik ondalık sayı
İrrasyonel sayılar periyodik olmayan ondalık sayılardır, bu nedenle aynı anda hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.
İrrasyonel sayılara örnek:
1.123149… → periyodik olmayan ondalık
2.769235… → periyodik olmayan ondalık
İrrasyonel sayılarla işlemler
toplama ve çıkarma
bu ilave ve çıkarma genellikle iki irrasyonel sayının sadece temsil edildi, bu sayıların ondalık bir yaklaşımı kullanılmadıkça, örneğin:
a) √6 + √5
b) √6 – √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Radikaller nedeniyle değerleri toplama veya çıkarma yapamıyoruz, bu yüzden belirtilen işlemi yeni bıraktık.
Ondalık gösterimlerde de tam toplamı yapmak mümkün değildir, bu nedenle iki irrasyonel sayı eklemek için rasyonel bir yaklaşıma ihtiyacımız var., ve bu gösterim, bu verilerin kesinlik ihtiyacına göre seçilir. Ne kadar çok ondalık basamak düşünürsek, elde ettiğimiz tam toplama o kadar yakın olur.
Gözlem:irrasyonel sayılar kümesi toplama veya çıkarma işlemine kapalı değildir, bu iki irrasyonel sayının toplamının rasyonel olmayan bir sayı ile sonuçlanabileceği anlamına gelir. Örneğin, bir irrasyonel sayının zıttı ile farkını hesaplarsak, şunları yapmalıyız:
a) √2 – √2 = 0
b) π + (-π) = 0
0'ın irrasyonel bir sayı olmadığını biliyoruz.
Çarpma ve bölme
çarpma ve bölünme irrasyonel sayıların temsil bir ise yapılabilir radyasyonancak, ondalık gösterimde, yani iki ondalık sayının çarpılması veya bölünmesinde toplama gibi, bu sayının rasyonel bir yaklaşımı gereklidir.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Ayrıca, örnek b'de 4'ün bir rasyonel sayı olduğuna dikkat edin; bu, iki irrasyonel sayının çarpımı ve bölünmesinin kapalı olmadığı, yani rasyonel bir sonuca sahip olabileceği anlamına gelir.
çözülmüş alıştırmalar
Soru 1 - Aşağıdaki numaraları inceleyin:
ben) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123...
V) √36
VI) √12
Bunlar irrasyonel sayılardır:
A) Sadece I, IV ve V
B) Sadece II, III ve VI
C) Sadece II, IV ve VI
D) Sadece I, II, III ve VI
E) Sadece III, IV, V ve VI
çözüm
alternatif B
I → sayı tam ondalıktır, rasyoneldir.
II → sayı, periyodik olmayan, irrasyonel bir ondalık sayıdır.
III → π irrasyoneldir ve iki katı, yani 2π de irrasyoneldir.
IV → sayı periyodik, rasyonel bir ondalık sayıdır.
V → kesin, rasyonel kök.
VI → kök kesin değil, mantıksız.
Soru 2 - Lütfen aşağıdaki ifadeleri değerlendirin:
I – Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel birleşimidir;
II – İki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir;
III – Ondalıklar irrasyonel sayılardır.
Açıklamaları incelersek şunu söyleyebiliriz:
A) Yalnızca I önermesi doğrudur.
B) Yalnızca II numaralı ifade doğrudur.
C) Yalnızca III numaralı ifade doğrudur.
D) Sadece I ve II numaralı ifadeler doğrudur.
E) Tüm ifadeler doğrudur.
çözüm
alternatif D
I → Doğru, çünkü gerçek sayılar kümesinin tanımı rasyonel ve irrasyonel arasındaki birliktir.
II → Doğru, tam tersi bir sayı eklediğimizde, sonuç olarak rasyonel olan 0 sayısını elde edeceğiz.
III → Yanlış, periyodik olmayan ondalıklar irrasyoneldir.
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
