Onun oluşturduğu geometrik figürlerden farklı olarak, Puan tanımı yoktur. Bu, Geometri'de bir noktanın diğer nesneleri tanımlamada kullanılan tanımsız bir nesne olduğu anlamına gelir. Örneğin çizgiler nokta kümeleridir. İyi tanımlanmış görünseler de, iki veya daha fazla nokta içeren herhangi bir küme düz olarak kabul edildiğinden, çizgilerin de tanımı yoktur.
Öte yandan, Analitik Geometri'de nokta konum olarak alınır. Herhangi bir konum bir nokta ile temsil edilebilir ve ayrıca o noktanın “adresi” koordinatlar aracılığıyla verilir.
Ancak analitik geometride noktalar yalnızca konumları gösterebilir. Yörünge, yön, yön ve yoğunluğu belirtmek için başka nesnelere ihtiyaç vardır. Bu son üç durumda, onları Kartezyen düzlemde temsil etmek için seçilen nesne, vektör.
→ Vektör nedir?
vektörlerdolayısıyla yön, anlam ve yoğunluk gösteren nesnelerdir. Genellikle orijinden başlayan oklarla gösterilirler ve son noktalarının koordinatları kullanılır.
Yukarıdaki resimde vektörler bu şekilde, yani koordinatları son noktalarına karşılık gelen oklarla temsil edilmektedir. u vektörünün (2,2) koordinatları ve v vektörünün (4,2) koordinatları vardır. Ayrıca ok yön ve yönü belirtmek için kullanılır ve boyutu yoğunluğu belirtir.
→ Bir sayı ile vektör çarpması
v = (a, b) vektörü verildiğinde, k gerçek sayısının v ile çarpımı şu ifadeyle verilir:
k·v = k·(a, b) = (k·a, k·b)
Başka bir deyişle, gerçek bir sayıyı bir vektörle çarpmak için, gerçek sayıyı koordinatlarının her biriyle çarpmanız gerekir.
Geometrik olarak, bir vektörü gerçek bir sayı ile çarpmak, vektörün boyutunu doğrusal olarak artırır:
Yukarıdaki örnekte, u vektörünün (2.2) koordinatlarına ve u·k vektörünün (4.4) koordinatlarına sahip olduğuna dikkat edin. (4.4) = k (2.2) denklemini çözerek, k = 2 olduğu sonucuna varılabilir.
→ Vektör ekleme
u = (a, b) ve v = (c, d) iki vektörü verildiğinde, aralarındaki toplam şu ifadeyle elde edilecektir:
u + v = (a + c, b + d)
Başka bir deyişle, her vektörün karşılık gelen koordinatlarını toplamanız yeterlidir. Bu işlem, 3 veya daha fazla boyuta sahip 3 veya daha fazla vektörün toplamına genişletilebilir.
Geometrik olarak, u vektörünün bitiş noktasından başlayarak, v vektörüne paralel bir v' vektörü çizilir. v vektöründen başlayarak, u vektörüne paralel bir u' vektörü çizilir. Bu dört vektör bir paralelkenar oluşturur. u + v vektörü, bu paralelkenarın aşağıdaki köşegenidir:
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
Vektörleri çıkarmak için, çıkarmayı bir vektörün toplamı ve diğerinin tersi olarak düşünün. Örneğin, v vektörünü u vektöründen çıkarmak için şunu yazın: u – v = u + (-v). -v vektörü v vektörüdür, ancak koordinat işaretleri tersine çevrilir.
Yakından bakıldığında, "bir vektörü bir sayı ile çarpma" ve "vektör toplama" işlemleri çarpma ve toplama işlemlerinden reel sayılar üzerinde, ancak sayının her bir bileşeninde yararlanılır. vektör. Bu nedenle, vektörler için, gerçek sayıların tüm toplama ve çarpma özellikleri geçerlidir, yani:
u, v ve w vektörleri ve k ve l gerçek sayıları verildiğinde,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) v + 0 = v olacak şekilde 0 = (0.0) vektörü vardır
iv) v + (-v) = 0 olacak şekilde bir -v vektörü vardır
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Bir vektörün standardı
Bir vektörün normu, gerçek bir sayının büyüklüğünün, yani bir vektör ile nokta (0,0) arasındaki mesafenin veya referans çerçevesine bağlı olarak vektörün uzunluğunun eşdeğeridir.
v = (a, b) vektörünün normu ||v|| ve şu ifade kullanılarak hesaplanabilir:
||v|| = √(bir2 + b2)
→ Dahili ürün
İç çarpım, vektörler arasındaki çarpımla karşılaştırılabilir. Yukarıda belirtilen ürünün bir vektör ile gerçek bir sayı arasındaki çarpım olduğuna dikkat edin. Şimdi, söz konusu “ürün” iki vektör arasındadır. Ancak “iki vektör arasındaki çarpım” değil, “iki vektör arasındaki iç çarpım” denilmelidir. v = (a, b) ve u = (c, d) vektörleri arasındaki iç çarpım şu şekilde gösterilir:
Aşağıdaki gösterimi kullanmak da gelenekseldir:
v = (a, b) vektörünün normunu kullanarak, norm ve nokta çarpımını ilişkilendirebileceğimize dikkat edin.
||v|| = √(bir2 + b2) = √(a·a + b·b) = √(
Luiz Paulo Moreira'nın fotoğrafı.
Matematik mezunu
