sayısal kümeler benzer özelliklere sahip sayılar topluluğudur. Belli bir tarihsel süreçte insanlığın ihtiyaçları sonucu doğmuşlardır. Ne olduklarını görün!
Doğal Sayılar Kümesi
set Doğal sayılar ilk duyulan oydu. Basit sayma ihtiyacından doğdu, bu nedenle öğeleri yalnızca tam sayılardır ve negatif değildir.
N ile temsil edilen doğal sayılar kümesi aşağıdaki öğelere sahiptir:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Tamsayılar Kümesi
set tüm sayılar doğal sayılar kümesinin bir uzantısıdır. Doğal sayılar kümesinin negatif sayılarla birleştirilmesiyle oluşturulur. Başka bir deyişle, Z ile temsil edilen tamsayılar kümesi aşağıdaki öğelere sahiptir:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Rasyonel Sayılar Kümesi
set rasyonel sayılar miktarları bölme ihtiyacından doğmuştur. Yani bu bir kesir olarak yazılabilen sayılar kümesidir. Q ile temsil edilen rasyonel sayılar kümesi aşağıdaki unsurlara sahiptir:
S = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z ve b ∈ N}
Yukarıdaki tanım şu şekilde okunur: x rasyonellere aittir, öyle ki x eşittir bölü B, ile tamsayılara ait ve B doğallara aittir.
Başka bir deyişle, eğer bir kesir veya kesir olarak yazılabilen bir sayı ise, o zaman rasyonel bir sayıdır.
Kesir olarak yazılabilen sayılar:
1 – Tüm tam sayılar;
2 – Sonlu ondalık sayılar;
3 – Periyodik ondalıklar.
Sonlu ondalık sayılar, sonlu sayıda ondalık basamağa sahip olanlardır. İzlemek:
1,1
2,32
4,45
Periyodik ondalık sayılar sonsuz ondalık sayılardır, ancak ondalık basamaklarının son sırasını tekrar ederler. İzlemek:
2,333333...
4,45454545...
6,758975897589...
İrrasyonel Sayılar Kümesi
Tanımı irrasyonel sayılar rasyonel sayıların tanımına bağlıdır. Bu nedenle, rasyoneller kümesine ait olmayan tüm sayılar, irrasyonel sayılar kümesine aittir.
Bu şekilde, bir sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. Bir sayının aynı anda bu iki kümeye ait olma olasılığı yoktur. Bu şekilde, irrasyonel sayılar kümesi, gerçek sayılar evrenindeki rasyonel sayılar kümesinin tamamlayıcısıdır.
İrrasyonel sayılar kümesini tanımlamanın başka bir yolu da aşağıdaki gibidir: İrrasyonel sayılar, Hayır kesir biçiminde yazılabilir. Onlar:
1 - Sonsuz ondalık sayılar
2 – Kökler kesin değil
Sonsuz ondalık sayılar, sonsuz ondalık basamakları olan ve periyodik ondalık olmayan sayılardır. Örneğin:
0,12345678910111213...
π
√2
Gerçek Sayılar Kümesi
set gerçek sayılar yukarıda belirtilen tüm sayılar tarafından oluşturulur. Tanımı, rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesi arasındaki birlik tarafından verilir. R ile temsil edilen bu küme matematiksel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:
$ = Q U I = {Q + I}
ben irrasyonel sayılar kümesidir. Bu şekilde yukarıda bahsedilen tüm sayılar aynı zamanda gerçek sayılardır.
Karmaşık Sayı Kümesi
set Karışık sayılar 2'den büyük veya 2'ye eşit dereceden denklemlerin gerçek olmayan köklerini bulma ihtiyacından doğdu. x denklemini çözmeye çalışırken2 + 2x + 10 = 0, örneğin, Bhaskara'nın formülüyle şunları elde ederiz:
x2 + 2x + 10 = 0
a = 1, b = 2 ve c = 10
? = 22 – 4·1·10
? = 4 – 40
? = – 36
Hangi ikinci derece denklemlere sahipler? < 0'ın gerçek kökü yoktur. Köklerini bulmak için √–36 = √36·(–1) = 6·√– 1 = 6i olacak şekilde karmaşık sayılar kümesi oluşturuldu.
C ile temsil edilen karmaşık sayılar kümesinin elemanları aşağıdaki gibi tanımlanır:
z = a + bi ise, a ve b reel sayılar ve i = √– 1 ise z karmaşık bir sayıdır.
Sayısal kümeler arasındaki ilişki
Bazı sayısal kümeler, diğerlerinin alt kümeleridir. Bu ilişkilerden bazıları metin boyunca vurgulanmıştır, ancak tümü aşağıda açıklanacaktır:
1 – Doğal sayılar kümesi, tamsayılar kümesinin bir alt kümesidir;
2 – Tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesidir;
3 – Rasyonel sayılar kümesi, reel sayılar kümesinin bir alt kümesidir;
4 – İrrasyonel sayılar kümesi, gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir;
5 – İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin ortak öğeleri yoktur;
6 – Gerçek sayılar kümesi, karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesidir.
Dolaylı olarak, başka ilişkiler kurmak mümkündür. Örneğin, doğal sayılar kümesinin karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesi olduğunu söylemek mümkündür.
Daha önce bahsedilen ilişkilerin tersini ve kurulabilecek dolaylı ilişkileri de okumak mümkündür. Bunu yapmak için örneğin tamsayılar kümesinin doğal sayılar kümesini içerdiğini söylemek yeterlidir.
Küme teorisi sembolojisini kullanarak bu ilişkiler aşağıdaki gibi yazılabilir:
Luiz Paulo Moreira'nın fotoğrafı.
Matematik mezunu
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm