set asal sayılar çalışmanın nesnesidir matematik Antik Yunanistan'dan. Euclides, büyük eseri “Elementler”de konuyu zaten tartışmış ve bunun böyle olduğunu göstermeyi başarmıştır. Ayarlamak sonsuzdur. Bildiğimiz gibi, asal sayılar, böleni 1 olan ve kendileri olan sayılardır. çok büyük asal sayıları bulmak kolay bir iş değildir ve Eratosthenes'in eleği bunu kolaylaştırır. toplantı.
Bir sayının asal olduğunu nasıl anlarsınız?
Asal sayının bir olduğunu biliyoruzkim varsa bölücü 1 numara ve kendisi, bu nedenle, bölen listesinde 1'den başka sayılara sahip olan ve kendisi asal olmayacak bir sayı, bkz:
11 ve 30 bölücüleri listeleyerek şunları elde ederiz:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
11 sayısının bölen olarak yalnızca 1 sayısına ve kendisine sahip olduğuna dikkat edin, bu nedenle 11 sayısı bir asal sayıdır. Şimdi 30 sayısının bölenlerine bakın, 1 sayısı ve kendisine ek olarak 2, 3, 5, 6 ve 10 sayılarının da bölenleri var. Bu nedenle, 30 sayısı asal değildir.
→ Misal: 15'ten küçük asal sayıları listeleyiniz.
Bunun için 2 ile 15 arasındaki tüm sayıların bölenlerini listeleyeceğiz.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Böylece, 15'ten küçük asal sayılar:
2, 3, 5, 7, 11 ve 13
Kabul edelim, örneğin 2 ile 100 arasındaki tüm asal sayıları yazsaydık bu görev pek hoş olmazdı. Bundan kaçınmak için bir sonraki konuda Eratosthenes eleğini kullanmayı öğreneceğiz.
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
Eratosten Elek
Eratosthenes'in eleği bir asal sayıların belirlenmesini kolaylaştırmayı amaçlayan araç. Elek dört adımdan oluşur ve bunları anlamak için aşağıdakileri akılda tutmak gerekir. bölünebilme kriteri. Adım adım adıma geçmeden önce 1 sayısı asal olmadığı için 2 sayısından istenilen sayıya kadar bir tablo oluşturmalıyız. Sonra:
→ Aşama 1: 2 ile bölünebilme kriterinden, çift sayıların hepsinin ona bölünebildiğini, yani 2 sayısı bölen listesinde görünecek, bu yüzden bu sayılar asal olmayacak ve onları bölmeden çıkarmalıyız. masa. Onlar:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Adım 2: 3 ile bölünebilme kriterinden, bir sayının 3 ile bölünebildiğini biliyoruz. toplam rakamları da öyle. Bu nedenle, bölen listesinde 1 ve kendisinden başka bir sayı olduğu için asal olmadıkları için bu sayıları tablodan çıkarmamız gerekir. Bu nedenle, sayıları hariç tutmalıyız:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Aşama 3: 5 ile bölünebilme kriterinden 0 veya 5 ile biten tüm sayıların 5'e bölünebildiğini biliyoruz, bu yüzden onları tablodan çıkarmalıyız.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ 4. Adım: Benzer şekilde, 7'nin katları olan sayıları tablodan çıkarmalıyız.
14, 21, 28, …, 546, …
– Eratosthenes'in eleğini bilerek 2 ile 100 arasındaki asal sayıları bulalım.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ kuzen değil
→ asal sayılar
Yani 2 ile 100 arasındaki asal sayılar:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Siz de okuyun: MMC ve MDC hesaplaması: nasıl yapılır?
Asal faktör ayrışması
bu asal faktör ayrıştırması resmen olarak bilinir aritmetiğin temel teoremi. Bu teorem, herhangi bir tam sayı 0'dan farklı ve 1'den büyük asal sayıların çarpımı ile gösterilebilir. Bir tamsayının çarpanlara ayrılmış biçimini belirlemek için, 1'e eşit sonuca ulaşana kadar ardışık bölmeler yapmalıyız. Örneğe bakın:
→ 8, 20 ve 350 sayılarının çarpanlarına ayrılmış halini belirleyin.
8 sayısını çarpanlara ayırmak için, onu mümkün olan ilk asal sayıya, bu durumda 2'ye bölmemiz gerekir. Daha sonra mümkün olan asal ile bir bölme daha yaparız, bu işlem bölmenin cevabı olarak 1 numaraya ulaşana kadar tekrarlanır. Bak:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Bu nedenle, 8 sayısının çarpanlara ayrılmış şekli 2 · 2 · 2 = 2'dir.3. Bu süreci kolaylaştırmak için aşağıdaki yöntemi benimseyeceğiz:
Bu nedenle, 8 sayısı şu şekilde yazılabilir: 23.
→ 20 sayısını çarpanlara ayırmak için aynı yöntemi kullanacağız, yani asal sayılara bölün.
20 sayısı çarpanlarına ayrılmış haliyle: 2 · 2 · 5 veya 22 · 5.
→ Aynı şekilde 350 sayısı ile de yapacağız.
Bu nedenle 350 sayısı çarpanlarına ayrılmış haliyle: 2 · 5 · 5 · 7 veya 2 · 5'tir.2 · 7.
Ayrıca bakınız: Bilimsel gösterim: ne için?
çözülmüş alıştırmalar
soru 1 - Ifadeyi basitleştir:
Çözüm
İlk olarak, ifadeyi kolaylaştırmak için çarpanlara ayıralım.
Böylece, 1024 = 210, ve bu nedenle alıştırma ifadesinde birini diğerinin yerine koyabiliriz. Böylece:
Robson Luiz tarafından
Matematik öğretmeni
