Doğrusal sistemler: ne oldukları, nasıl çözüleceği, türleri

çöz sistemlerdoğrusal doğa bilimleri ve matematik alanlarındaki çalışmalar için çok tekrarlanan bir görevdir. Bilinmeyen değerlerin aranması, lineer sistemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin geliştirilmesine yol açmıştır; buna sahip sistemler için toplama, eşitlik ve ikame yöntemi gibi. iki denklem ve iki bilinmeyen, ve Crammer kuralı ve iki denklemin doğrusal sistemlerini çözen, ancak daha fazla denklemi olan sistemler için daha uygun olan. Doğrusal bir sistem, bir veya daha fazla bilinmeyenli iki veya daha fazla denklem kümesidir.

Siz de okuyun:Matrisler ve lineer sistemler arasındaki ilişki nedir?

Doğrusal sistemler.

Doğrusal Denklem

Denklemlerle çalışma, bilinmeyen bilinmeyen değerleri bulma ihtiyacı. Eşitliğe sahip bir cebirsel ifademiz olduğunda buna denklem diyoruz ve aşağıdaki örneklerde gösterildiği gibi bilinmeyenlerinin en büyük üssü 1 olduğunda doğrusal olarak sınıflandırılır:

2x + y = 7 → iki bilinmeyenli lineer denklem

a + 4 = -3 → bir bilinmeyenli lineer denklem

Genel olarak konuşursak, doğrusal bir denklem şu şekilde tanımlanabilir:

₁x₁ +₂x₂ + a3x3... + bir_Hayırx_Hayır = c

Birden fazla lineer denklem olduğunda denklem sistemi olarak biliyoruz. İki bilinmeyenli lineer sistemlerle başlayacağız.

Doğrusal sistemleri çözme

• İki 1. dereceden denklem ve iki bilinmeyenli lineer sistemler

İki denklem ve iki bilinmeyenden oluşan bir sistemi çözmek için birkaç yöntemler, en iyi bilinen üç tanesi:

• karşılaştırma yöntemi
• ekleme yöntemi
• ikame yöntemi

Üçünden herhangi biri, iki denklem ve iki bilinmeyenden oluşan lineer bir sistemi çözebilir. Bu yöntemler daha fazla denklem içeren sistemler için verimli değildir, onları çözmek için başka özel yöntemler olduğu için.

• Değiştirme yöntemi

Değiştirme yöntemi şunlardan oluşur: bilinmeyenlerden birini izole etmek denklemlerden birinde ve diğer denklemdeki ikame işlemini gerçekleştirin.

Misal:

1. adım: bilinmeyenlerden birini ayırın.

I'ye birinci denklem ve II'ye ikinci denklem diyoruz. İkisini analiz edelim, hadi izole edilmesi en kolay bilinmeyeni seçin. Not: denklem I → x + 2y = 5, x'in katsayısı yoktur, bu da ayırmayı kolaylaştırır, bu yüzden şu sevdiğim denklemi yeniden yazacağız:

ben → x + 2y = 5

ben → x = 5 - 2y

2. adım: II'de I'i değiştirin.

Artık sadece x ile denklem I'e sahip olduğumuza göre, denklem II'de x'i 5 – 2y ile değiştirebiliriz.

II → 3x – 5y = 4

x'i 5 - 2y ile değiştirmek:

3 (5 - 2y) - 5y = 4

Artık denklemin yalnızca bir bilinmeyeni olduğuna göre, y değerini bulmak için onu çözmek mümkündür.

y'nin değerini bilerek, denklem I'de y'nin değerini değiştirerek x'in değerini bulacağız.

ben → x = 5 - 2y

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Yani sistemin çözümü S = {3,1}'dir.

• Karşılaştırma yöntemi

Karşılaştırma yöntemi şunlardan oluşur: iki denklemde bir bilinmeyeni ayırın ve bu değerleri eşitleyin.

Misal:

1. adım: İlk denklem I, ikincisi II olsun, I ve II'deki bilinmeyenlerden birini ayıralım. Bilinmeyen x'i izole etmeyi seçerek şunları yapmalıyız:

2. adım: x = x olduğundan, iki yeni denklemi eşitleyin.

3. adım: denklemlerden birinde y değerini -2 ile değiştirin.

x = -4 - 3y

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Bu sistemin çözümü S = {2,-2} kümesidir.

Ayrıca bakınız: Fonksiyon ve denklem arasındaki farklar nelerdir?

• ekleme yöntemi

Toplama yöntemi, denklemlerden birinin tüm terimlerinin çarpımını şu şekilde gerçekleştirmeyi içerir: denklem I'i denklem II'ye ekle, bilinmeyenlerinden biri sıfıra eşit.

Misal:

1. adım: katsayıları zıt olacak şekilde denklemlerden birini çarpın.

Denklem II'yi 2 ile çarparsak, denklem II'de 4y ve denklem I'de -4y olduğunu ve I + II'yi toplarız, 0y elde ederiz, o zaman denklem II'deki tüm terimleri 2 ile çarpalım, böylece bu olmak.

ben → 5x – 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2. adım: I + 2 · II toplamını gerçekleştirin.

3. adım: x = 3 değerini denklemlerden birine değiştirin.

• Üç 1. dereceden denklem ve üç bilinmeyenli lineer sistemler

Sistemde üç bilinmeyen olduğunda, diğer çözme yöntemlerini benimsiyoruz. Tüm bu yöntemler, katsayıları matrislerle ilişkilendirir ve en çok kullanılan yöntemler Crammer kuralı veya ölçeklemedir. Her iki yöntemde de çözünürlük için, 2x2 sistemi de dahil olmak üzere sistemin matris gösteriminin bir matris vasıtasıyla temsil edilebilmesi gereklidir. İki olası temsil vardır, tam matris ve eksik matris:

Misal:

sistem 

ile temsil edilebilir tam matris

Ve için eksik matris

• Crammer'ın Kuralı

x, y ve z bilinmeyenli bir 3x3 sistem için çözümler bulmak için Crammer kuralı, eksik matrisin determinantını ve varyasyonlarını hesaplamak gerekir. Bu yüzden şunları yapmalıyız:

D → sistemin eksik matrisinin belirleyicisi.

D_x → x'in sütununu bağımsız terimler sütunu ile değiştirerek sistemin eksik matrisinin determinantı.

D_y → y sütununu bağımsız terimler sütunu ile değiştirerek sistemin eksik matrisinin belirleyicisi.

D_z → z sütununu bağımsız terimler sütunu ile değiştirerek sistemin eksik matrisinin belirleyicisi.

Bu nedenle, bilinmeyenlerinizin değerini bulmak için önce belirleyici D, D_x, D_y sistemle ilişkilidir.

Misal:

1. adım: D hesapla

2. adım: D'yi hesapla_x.

3. adım: o zaman x'in değerini bulabiliriz, çünkü:

4. adım: D'yi hesapla_y.

5. adım: o zaman y'nin değerini hesaplayabiliriz:

6. adım: Artık x ve y'nin değerini bildiğimize göre, her iki satırda da x ve y'nin değerini değiştirerek ve z'yi izole ederek z'nin değerini bulabiliriz. Diğer bir seçenek de D'yi hesaplamaktır._z.

İlk denklemde x = 0 ve y = 2 yerine:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 – z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Bu nedenle sistem çözümü ihaledir (0.2,-1).

Ayrıca erişim: Denklem sistemleri ile problem çözme

• ölçekleme

Doğrusal sistemleri çözmenin bir başka yöntemi de, bilinmeyenlerini izole etmek için yalnızca tam matrisi ve satırlar arasındaki işlemleri kullandığımız ölçeklendirmedir. Aşağıdaki sistemi ölçeklendirelim.

1. adım: sistemi temsil eden tam matrisi yazın.

L olmak₁, L₂ ve ben₃ sırasıyla matrisin 1, 2 ve 3. satırları arasında L arasında işlemler yapacağız.₁ ve ben₂ ve ben₁ ve ben₃, böylece sonuç ikinci ve üçüncü satırın ilk sütunundaki terimleri sıfıra eşit yapar.

Matrisin ikinci satırını analiz ederek, a21 terimini sıfırlamak için onu L2 → -2 · L1 + L2 sonucuyla değiştirelim.

₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

yani L₂ 0 -3 7 -17 olacaktır.

Matrisin üçüncü satırını analiz ederek, onu L3 → 3L1 + L sonucuyla değiştirelim._2, terimi sıfırlamak için_31.

₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

yani L₃ 0 8 -8 24 olacaktır.

Hepsinin 8'e bölünebildiğine dikkat edin, böylece L çizgisi₃ basit olsun, 8'e bölelim.

L₃ → S₃ : 8 olacaktır: 0 1-1 3.

Böylece, ölçeklendirilmiş denklemin yeni matrisi şöyle olacaktır:

Şimdi amaç üçüncü satırdaki y sütununu sıfırlamak, L arasında işlemler yapacağız.₂ ve ben₃, bunlardan birinin ikinci sütununu sıfırlamak amacıyla.

L3'ü L3 → L ile değiştireceğiz₂ + 3L₃.

₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Yani L₃ 0 0 4 -8 olacaktır.

Yeni ölçeklendirilmiş matris şöyle olacaktır:

Şimdi, bu matrisi sütunlara x, y ve z ekleyerek tekrar bir sistem olarak gösterdiğimizde, aşağıdakileri bulacağız:

Daha sonra bilinmeyenlerin her birinin değerini bulabiliriz. Denklem III'ü analiz ederek şunları yapmalıyız:

Eğer z = -2 ise, ikinci denklemde z'nin değerini yerine koyalım:

Son olarak, ilk denklemde, x'in değerini bulmak için y ve z'nin değerini yerine koyalım.

Ayrıca bakınız: 1. derece eşitsizlikler sistemi – nasıl çözülür?

lineer sistem sınıflandırması

Doğrusal bir sistem, birkaç bilinmeyene ve birkaç denkleme sahip olabilen bir dizi doğrusal denklemdir. Denklem sayısından bağımsız olarak çözmek için birkaç yöntem vardır. Üç vardır derecelendirme lineer sistem için

• Belirlenen olası sistem (SPD): tek bir çözümünüz olduğunda.
• Belirsiz olası sistem (SPI): sonsuz çözümlere sahip olduğunda.
• imkansız sistem(Sİ): çözüm olmadığında.

çözülmüş alıştırmalar

soru 1 (IFG 2019) Bir üçgenin taban ölçüleri ile o tabana göre yüksekliğinin toplamı 168 cm ve farkı 24 cm olsun. Bu taban ölçüsüne göre taban ve yükseklik ölçülerinin sırasıyla:

a) 72 cm ve 96 cm

b) 144 cm ve 24 cm

c) 96 cm ve 72 cm

d) 24 cm ve 144 cm

çözüm

Alternatif C.

h → yükseklik ve b → taban olsun, o zaman aşağıdaki sisteme sahibiz:

Ekleme yöntemiyle şunları yapmalıyız:

h'nin değerini bulmak için ilk denkleme b = 96 cm koyalım:

b + h = 168

96 + s = 168

h = 168 - 96

h = 72 cm

soru 2 Aşağıdaki lineer sistemi temsil eden eksik matris:

çözüm

Alternatif C.

Eksik matris, x, y ve z katsayılarına sahip olan bir matristir, bu nedenle 3x3 matris olacaktır. Alternatifler incelendiğinde, 3x3 matrisini doğru işaretlerle içeren C harfidir.

Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni

Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm