Matris: nedir, türleri, işlemleri, örnekleri

bu Merkez problem çözmeyi kolaylaştırmak için tablo halindeki verileri düzenlemek için yaygın olarak kullanılır. Matris bilgisi, sayısal olsun veya olmasın, satır ve sütunlar halinde düzgün bir şekilde düzenlenmiştir.

işlemleri ile donatılmış matrisler kümesi ilave, çıkarma ve çarpma işlemi ve özellikler, nötr ve ters bir eleman olarak matematiksel bir yapı oluşturur. çeşitli alanlarda uygulanmasını sağlar bu geniş bilgi alanının.

Ayrıca bakınız: Matris ve lineer sistemler arasındaki ilişki

matris gösterimi

Matrislerle ilgili çalışmalara başlamadan önce temsillerine ilişkin bazı notasyonların oluşturulması gerekmektedir. at matrisler her zaman büyük harflerle gösterilir. (A, B, C…), endekslerin eşlik ettiği, ilk sayı satır sayısını, ikincisi sütun sayısını gösterir..

bu satır sayısı (yatay satırlar) ve sütunlar (dikey satırlar) bir matrisin sipariş. Matris A m n mertebesine sahiptir. Bir dizide bulunan bilgilere denir. elementler ve parantez, köşeli parantez veya iki dikey çubuk içinde düzenlenmiştir, örneklere bakın:

A matrisinin iki satırı ve üç sütunu vardır, dolayısıyla sırası ikiye üç → A'dır._2x3.

Matris B'nin bir satırı ve dört sütunu vardır, bu nedenle sırası dörtte birdir, bu nedenle denir. çizgi matrisi → B_1x4.

Matris C'nin üç satırı ve bir sütunu vardır ve bu nedenle denir. sütun matrisi ve sırası üçer birer → C_3x1.

Bir dizinin öğelerini genel olarak temsil edebiliriz, yani bu öğeyi matematiksel bir temsil kullanarak yazabiliriz. Ögenel eleman küçük harflerle temsil edilecektir (a, b, c…) ve dizilerin temsilinde olduğu gibi, konumunu belirten bir indeksi de vardır. İlk sayı elemanın bulunduğu satırı, ikinci sayı ise bulunduğu sütunu gösterir.

Aşağıdaki A matrisini düşünün, elemanlarını listeleyeceğiz.

İlk satır ve ilk sütunda bulunan ilk öğeyi, yani birinci satır ve birinci sütunda bulunan ilk öğeyi gözlemleyerek, 4 sayısını elde ederiz. Yazmayı kolaylaştırmak için, bunu şu şekilde belirteceğiz:

₁₁ → birinci satır, birinci sütun

A matrisinin aşağıdaki elemanlarına sahibiz_2x3:

₁₁ = 4

₁₂ =16

₁₃ = 25

₂₁ = 81

₂₂ = 100

₂₃ = 9

Genel olarak, bir diziyi jenerik elemanlarının bir fonksiyonu olarak yazabiliriz. genel matris.

m satır ve n sütundan oluşan bir matris şu şekilde temsil edilir:

• Misal

A = [a matrisini belirleyin_ij ]_2x2, aşağıdaki eğitim yasasına sahip olan_ij = j² – 2i. İfade verilerinden, A matrisinin ikişer ikişer mertebesinde olduğunu, yani iki satırı ve iki sütunu olduğunu gördük, bu nedenle:

Ayrıca matris oluşum yasası verilmiş, yani her bir eleman aşağıdaki ilişkiden memnundur._ij = j² – 2i. Formülde i ve j değerlerini değiştirerek, elimizde:

₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Bu nedenle, A matrisi:

Dizi Türleri

Bazı matrisler özel ilgiyi hak ediyor, şimdi bunlara bakın dizi türleri örneklerle.

• Kare matris

Bir matris kare olduğunda satır sayısı sütun sayısına eşittir. n satırı ve n sütunu olan matrisi A ile temsil ediyoruz._Hayır (okuyun: n dereceli kare matris).

Kare matrislerde çok önemli iki elementimiz vardır, köşegenler: ana ve ikincil. Ana köşegen, eşit indekslere sahip elemanlardan oluşur, yani her eleman a'dır._ij i = j ile İkincil köşegen, a elemanları tarafından oluşturulur._ij i + j = n +1 ile, burada n matris düzenidir.

• kimlik matrisi

Kimlik matrisi, sahip bir kare matristir. herşeysen1'e eşit ana köşegen elemanları ve 0'a eşit diğer elemanlar, oluşum yasası:

Bu matrisi I ile gösteririz, burada n kare matrisin sırasıdır, bazı örneklere bakın:

• birim matris

Birinci dereceden bir kare matristir, yani bir satırı ve bir sütunu vardır ve bu nedenle, sadece bir element.

bir = [-1]_1x1, B = ben₁ = (1)_1x1 ve C = || 5||_1x1

Bunlar, bir matris olan B matrisine vurgu yapan birim matris örnekleridir. birim kimlik matrisi.

• boş matris

Tüm öğeleri sıfıra eşitse, bir dizinin boş olduğu söylenir. m'ye n'ye O'da bir boş matris temsil ediyoruz_mxn.

O matrisi 4. dereceden boştur.

• zıt matris

İki eşit sıralı matris düşünün: A = [a_ij]_mxn ve B = [b_ij]_mxn. Bu matrisler, ancak ve ancak,_ij = -b_ij. Böylece, karşılık gelen elemanlar olmalıdır zıt sayılar.

B = -A matrisini temsil edebiliriz.

• transpoze edilmiş matris

İki matris A = [a_ij]_mxn ve B = [b_ij]_nxm onlar aktarılmış ancak ve ancak,_ij = b_ji , yani, bir A matrisi verildiğinde, devrikini bulmak için çizgileri sütun olarak almanız yeterlidir.

A matrisinin devrik A ile gösterilir^T. Örneğe bakın:

Daha fazla gör: Ters matris: nedir ve nasıl doğrulanır

matris işlemleri

Bir n x m matrisinin genel temsili.

Matrisler kümesi, aşağıdaki işlemlere sahiptir:çok iyi tanımlanmış toplama ve çarpmayani, iki veya daha fazla matrisi çalıştırdığımızda, işlemin sonucu yine de matris kümesine aittir. Ancak, çıkarma işlemi ne olacak? Bu işlemi, aynı zamanda çok iyi tanımlanmış olan toplama işleminin tersi (karşıt matris) olarak anlıyoruz.

İşlemleri tanımlamadan önce, fikirlerini anlayalım. karşılık gelen eleman ve matrislerin eşitliği. Karşılık gelen öğeler, farklı matrislerde aynı konumu işgal eden, yani aynı satır ve sütunda bulunanlardır. Açıkçası, eşleşen öğelerin var olması için dizilerin aynı sırada olması gerekir. Bak:

14 ve -14 öğeleri, aynı konumu (aynı satır ve sütun) işgal ettikleri için, A ve B karşıt matrislerinin karşılık gelen öğeleridir.

İki matrisin, ancak ve ancak karşılık gelen elemanlar eşitse eşit olduğu söylenecektir. Böylece, verilen A = [a matrisleri_ij]_mxn ve B = [b_ij]_mxn, bunlar aynı olacaktır, ancak ve ancak_ij = b_ij herhangi bir i j için

• Misal

A ve B matrislerinin eşit olduğunu bilerek, x ve t değerlerini belirleyin.

A ve B matrisleri eşit olduğundan, karşılık gelen elemanlar eşit olmalıdır, bu nedenle:

x = -1 ve t = 1

• Matrislerde toplama ve çıkarma

operasyonları matrisler arasında toplama ve çıkarma oldukça sezgiseldirler, ancak önce bir koşulun yerine getirilmesi gerekir. Bu işlemleri gerçekleştirmek için öncelikle dizi siparişleri eşittir.

Bu koşul doğrulandıktan sonra, matrisin karşılık gelen elemanlarının eklenmesi veya çıkarılmasıyla matrisin toplanması ve çıkarılması gerçekleşir. A = [a matrislerini düşünün_ij]_mxn ve B = [b_ij]_mxn, sonra:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij -B_ij] _mxn

• Misal

Aşağıdaki A ve B matrislerini göz önünde bulundurun, A + B ve A - B'yi belirleyin.

sen de oku: Tam sayı işlemleri

• Gerçek bir sayının matris ile çarpımı

Bir matristeki gerçek bir sayının (matris çarpımı olarak da bilinir) bir skaler ile çarpımı, matrisin her bir elemanının skaler ile çarpılmasıyla verilir.

A = [a olsun_ij]_mxn bir matris ve t bir gerçek sayı, yani:

t · A = [t · bir_ij]_mxn

Örneğe bakın:

• matris çarpımı

Matrislerin çarpımı, toplama ve çıkarma kadar önemsiz değildir. Çarpma işlemi yapılmadan önce matrislerin sırasına ilişkin bir koşul da sağlanmalıdır. A matrislerini düşünün_mxn ve B_nxr.

Çarpma işlemini gerçekleştirmek için, İlk matristeki sütun sayısı, ikincideki satır sayısına eşit olmalıdır.. Çarpımdan elde edilen çarpım matrisi, birincideki satır sayısı ve ikincideki sütun sayısı tarafından verilen bir sıraya sahiptir.

A ve B matrisleri arasında çarpma işlemini gerçekleştirmek için, satırların her birini aşağıdaki gibi tüm sütunlarla çarpmamız gerekir: ilk eleman A'nın sayısı, B'nin ilk öğesiyle çarpılır ve ardından A'nın ikinci öğesiyle toplanır ve B'nin ikinci öğesiyle çarpılır ve böylece art arda. Örneğe bakın:

sen de oku: Laplace Teoremi: nasıl ve ne zaman kullanılacağını bilin

çözülmüş alıştırmalar

soru 1 – (Ü. VE. Londrina – PR) A ve B matrisleri sırasıyla 3 x 4 ve p x q olsun ve eğer A · B matrisi 3 x 5 mertebesine sahipse, o zaman şu doğrudur:

a) p = 5 ve q = 5

b) p = 4 ve q = 5

c) p = 3 ve q = 5

d) p = 3 ve q = 4

e) p = 3 ve q = 3

Çözüm

Şu ifadeye sahibiz:

bu_3x4 · B_pxq = C_3x5

İki matrisi çarpma koşulundan, çarpım yalnızca birincideki sütun sayısı ikincideki satır sayısına eşitse var olur, yani p = 4. Ayrıca ürün matrisinin birincideki satır sayısıyla ikincideki sütun sayısıyla verildiğini de biliyoruz, yani q = 5.

Bu nedenle, p = 4 ve q = 5.

A: Alternatif b

Soru 2 - (Vunesp) 2 x 2 reel matris içeren aşağıdaki eşitlikte x, y ve z değerlerini belirleyin.

Çözüm

Diziler arasındaki işlemleri ve ardından aralarındaki eşitliği yapalım.

x, y ve z'nin değerini belirlemek için lineer sistemi çözeceğiz. İlk olarak, (1) ve (2) denklemlerini ekleyelim.

2x - 4= 0

2x = 4

x = 2

Denklem (3)'te bulunan x değerini değiştirerek, elimizde:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Ve son olarak, denklem (1) veya (2)'de bulunan x ve z değerlerini değiştirerek, elimizde:

x + y - z = 0

2 +y – 2 = 0

y=0

Bu nedenle problemin çözümü S = {(2, 0, 2)} ile verilir.

Robson Luiz tarafından
Matematik öğretmeni