Permütasyonlar sayma problemlerinin bir parçasıdır. Bir kümedeki elemanların sıra sayısını bilmek için permütasyon kullanırız. Permütasyon hakkındaki bilginizi uygulayın ve çözülmüş alıştırmalarla şüphelerinizi giderin.
1. Egzersiz
İki arkadaş altı yüzlü zarlarla oynuyorlardı. Sırayla olmasa da 4, 1, 2 ve 5 rakamlarının çıktığı biliniyor. Kaç tane sonuç dizisi olabilirdi?
Cevap: 24
Sonuçların bazı sıralaması şöyle olabilir:
1, 2, 4 ve 5 veya
5, 4, 5 ve 1 veya
4, 5, 1 ve 2
Olası sıralamaların toplam sayısını belirlemek için dört farklı öğeden oluşan bir permütasyon hesaplıyoruz.
Alıştırma 2
Altı arkadaştan oluşan bir grup sinemaya film izlemeye gitti ve aynı koltuk sırası için biletlerini aldı. Bir çiftin yan yana sandalyelere oturduklarını düşünürsek, bu arkadaşlar sandalye sırasına kaç farklı şekilde sığabilirler?
Cevap: 240
Hesaplamada "arkadaşlar" kümesinin tüm unsurları dikkate alındığından bu bir permütasyon problemidir.
Olası toplam permütasyon sayısını hesaplamak için çiftin her zaman birlikte olması gerektiğinden 5 öğeyi dikkate aldık.
Üstelik bu 120 olasılığı ikiyle çarpmamız gerekiyor çünkü çiftler birbirleriyle yer değiştirebiliyor.
Dolayısıyla, arkadaşların sandalye sıralarında kendilerini organize etmelerinin olası yollarının sayısı şöyledir:
120. 2 = 240
Alıştırma 3
7 kişilik bir sınıf, teneffüs fırsatlarını değerlendirerek avluda oynuyor. Sınıflara dönüş sinyalini duyan öğrenciler sıraya geçerek sıraya giriyor. Öğrenciler sıra sırasını kaç farklı şekilde oluşturabilirler?
Cevap: 5040
Kuyruğu düzenlemenin olası yollarının toplam sayısı, 7 farklı öğenin permütasyonudur.
Alıştırma 4
Bir fotoğrafçı, bir bankta sıralanmış 5 çocuğun fotoğrafını çekmek için kamerasını ayarlıyor. Bu grupta 3 kız ve 2 erkek var. Fotoğraf için çocukların olası bir düzenlemesi şöyle olacaktır:
Fotoğrafçı, çocukların bankta oturabilecekleri pozisyonları dikkate alarak kız ve erkek çocukları kaç farklı şekilde düzenleyerek farklı fotoğraflar elde edebilir?
Cevap: 10
Bu tekrarlanan elemanlarla bir permütasyon durumudur. Toplam permütasyon sayısını tekrarlanan elemanların permütasyonlarının çarpımına bölmeliyiz.
Alıştırma 5
PREFEITURA kelimesindeki harflerle kaç tane anagram yapılabilir?
Cevap: 907 200
CITY HALL kelimesi 10 harften oluşuyor ve bunların bir kısmı tekrarlanıyor. E harfi, R gibi iki kez görünür.
10 elementin permütasyonu arasındaki bölümü hesaplıyoruz ve tekrarlanan elemanların permütasyonlarının çarpımına bölüyoruz.
Alıştırma 6
(UEMG 2019) PONTA sözcüğündeki harflerin tüm permütasyonları kümesinden rastgele bir tanesi çıkarılır. Ünlü harfle başlayan ve biten bir kelimenin silinme olasılığı nedir?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
1/5
Aşama 1: PONTA kelimesinin harfleriyle yapılan tüm permütasyonların sayısı.
Beş farklı harf olduğundan elimizde:
Adım 2: sesli harfle başlayan ve biten permütasyonların sayısı.
İlk harf için iki sesli harf seçeneği vardır, son harf için ise yalnızca 1 sesli harf seçeneği olacaktır.
Ünsüzler için 3 tane var! olasılıklar.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Aşama 3: Olasılık oranını belirleyin.
Egzersiz 7
(EsPCex 2012) 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarının permütasyonlarından biri rastgele seçildiğinde 2'ye bölünebilen bir sayı elde etme olasılığı
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
1/4
e) 1/2
Aşama 1: toplam permütasyonlar.
Beş farklı element olduğundan, 5 elementin permütasyon sayısı 5 faktöriyele eşittir.
Adım 2: Beş basamaklı ikiye bölünebilen sayıların permütasyonları.
2'ye bölünebilmenin şartı çift olmasıdır. Dolayısıyla son rakam için 2 ve 4 olmak üzere iki seçenek vardır.
Diğer pozisyonlar için 4 tane var! olasılıklar.
Aşama 3: olasılık hesaplaması.
Egzersiz 8
(EsFCEx 2022) P, ilk terimi 1'den farklı olan 1, 3, 6, 9, 12 dizisinin permütasyonları kümesi olsun. Bu dizilerden biri rastgele çizilirse ikinci terimin 3 olma olasılığı p/q'ya eşit olur; p, q ∈ IN* ve gcd (p, q) = 1 olur. Bu nedenle, q – p eşittir
13.
15.
12.
14.
11.
Aşama 1: Örnek uzaydaki toplam olası durumların sayısını belirleyin.
Sağdan sola ilk sayı bir olamaz, dolayısıyla ilk sırayı almak için 4 olasılık vardır.
Diğer pozisyonları işgal edecek 4 kişi var! olasılıklar.
Permütasyonlar şunlardır:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Adım 2: ikincisi üç, birincisi birden farklı olmak üzere olayın gerçekleşme olasılıklarını belirleyin.
Permütasyonlar şunlardır:
3.1.3.2.1 = 18
Adım 3: olasılık oranı.
Olasılık oranı:
p = 18 ve q = 96 ile.
Ancak yine de p ile q arasındaki en büyük ortak bölenin 1 olması şartı vardır ve bu durum 18 ve 96'da oluşmaz.
18/96'ya eşdeğer kesirleri basitleştirmeli ve test etmeliyiz.
4. Adım: Olasılık kesirinin basitleştirilmesi ve p ve q'nun belirlenmesi.
gcd (3, 16) = 1 olduğundan, p = 3 ve q = 16.
Adım 5: çözüm.
q - p = 16 - 3 = 13
Hakkında daha fazla öğren permütasyon.
Daha fazla egzersiz için bkz.:
Kombinatoryal analiz alıştırmaları
ASTH, Rafael. Permütasyon alıştırmaları çözüldü ve açıklandı.Tüm mesele, [tarih yok]. Uygun: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Erişim adresi:
Şuna da bakın:
- Kombinatoryal Analiz
- Kombinatoryal Analiz Egzersizleri
- Permütasyon: basit ve tekrarlı
- Matematikte düzenleme: nedir, nasıl hesaplanır, örnekler
- 27 Temel Matematik alıştırması
- Matematikte kombinasyon: nasıl hesaplanır ve örnekler
- Olasılık Egzersizleri
- Olasılık