Şuna: setlerle işlemler bunlar birlik, kesişim ve farklılıktır. Bu işlemlerin her birinin sonucu yeni bir kümedir. Kümeler arasındaki birliği belirtmek için ∪ sembolünü kullanırız; kesişme noktası için ∩ sembolü; ve fark için, sembolü çıkarma\(-\). Farklılık olması durumunda işlemin gerçekleştirileceği sıraya uyulması önemlidir. Başka bir deyişle, eğer A ve B kümelerse, o zaman A ile B arasındaki fark, B ile A arasındaki farktan farklıdır.
Siz de okuyun: Venn diyagramı - kümelerin geometrik gösterimi ve aralarındaki işlemler
Setlerle yapılan işlemlerin özeti
Kümelerle yapılan işlemler şunlardır: birleşim, kesişim ve fark.
A ve B kümelerinin birleşimi (veya buluşması), A'ya ait veya B'ye ait olan elemanlardan oluşan A ∪ B kümesidir.
\(A∪B=\{x; x∈A\ veya\ x∈B\}\)
A ve B kümelerinin kesişimi, A'ya ve B'ye ait olan elemanların oluşturduğu A ∩ B kümesidir.
\(A∩B=\{x; x∈A\ ve\ x∈B\}\)
A ve B kümeleri arasındaki fark, A'ya ait olan ve B'ye ait olmayan elemanların oluşturduğu A - B kümesidir.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Eğer U (evren kümesi olarak bilinir), belirli bir bağlamdaki tüm kümeleri içeren bir küme ise, A ⊂ U ile U – A farkına A'nın tümleyeni denir. A'nın tamamlayıcısı, A'ya ait olmayan elemanlardan oluşur ve ile temsil edilir. Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Setlerle işlemlere ilişkin video dersi
Kümelerle yapılan üç işlem nelerdir?
Üç operasyon setlerle Bunlar: birlik, kesişim ve farklılıktır.
Setlerin birliği
A ve B kümelerinin birleşimi (ya da buluşması) A ∪ B kümesidir (“B birleşimi” olarak okuyun). Bu küme A kümesine ait tüm elemanlardan oluşur veya B kümesine aittir, yani kümelerden en az birine ait olan elemanlar.
A ∪ B'nin elemanlarını x ile temsil ederek şunu yazıyoruz:
\(A∪B=\{x; x∈A\ veya\ x∈B\}\)
Aşağıdaki resimde turuncu bölge ayarlamak A ∪B.
Zor görünüyor mu? İki örneğe bakalım!
Örnek 1:
A = {7, 8} ve B = {12, 15} ise A ∪ B kümesi nedir?
A ∪ B kümesi A'ya ait olan elemanlardan oluşur veya B.'ye aittir. 7 ve 8 numaralı elemanlar A kümesine ait olduğundan her ikisinin de A ∪ B kümesine ait olması gerekir. Ayrıca 12 ve 15 numaralı elemanlar B kümesine ait olduğuna göre her ikisinin de A ∪ B kümesine ait olması gerekir.
Öyleyse,
bir ∪ B={7, 8, 12, 15}
A∪B'nin elemanlarının her birinin ya A kümesine ya da B kümesine ait olduğuna dikkat edin.
Örnek 2:
A = {2, 5, 9} ve B = {1, 9} kümelerini düşünün. A ∪ B kümesi nedir?
2, 5 ve 9 numaralı elemanlar A kümesine ait olduklarına göre bunların hepsinin A∪B kümesine ait olması gerekir. Ayrıca 1 ve 9 numaralı elemanlar B kümesine ait olduğundan, hepsinin A ∪ B kümesine ait olması gerekir.
Bu eleman A ve B kümesine ait olduğundan 9'dan iki kez bahsettiğimize dikkat edin. "A ∪ B kümesi A'ya ait olan elemanlardan oluşur" veya B'ye ait" ifadesi aynı anda A ve B kümelerine ait olan elemanları hariç tutmaz.
Yani bu örnekte elimizde
bir ∪ B={1, 2, 5, 9}
9. öğeyi yalnızca bir kez yazdığımızı unutmayın.
Kümelerin kesişimi
A ve B kümelerinin kesişimi A ∩ B kümesidir (“Kesişim B” olarak okuyun). Bu küme A kümesine ait tüm elemanlardan oluşur Bu B kümesine aittir. Başka bir deyişle A ∩ B A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşur.
A ∩ B'nin elemanlarını x ile göstererek şunu yazıyoruz:
\(A∩B=\{x; x∈A\ ve\ x∈B\}\)
Aşağıdaki resimde turuncu bölge ayarlamak A ∩B.
Kümelerin kesişimiyle ilgili iki örnek çözelim!
Örnek 1:
A = {-1, 6, 13} ve B = {0, 1, 6, 13} olduğunu düşünün. A ∩ B kümesi nedir?
A ∩ B kümesi, A kümesine ait tüm elemanların birleşiminden oluşur Bu B kümesine aittir. 6 ve 13 numaralı elemanların aynı anda A ve B kümelerine ait olduğuna dikkat edin.
Bunun gibi,
bir ∩ B={6, 13}
Örnek 2:
A = {0,4} ve kümeleri arasındaki kesişim nedir? \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
A ve B kümeleri arasında ortak hiçbir öğe olmadığına dikkat edin. Dolayısıyla kesişim elemanları olmayan bir küme yani boş bir kümedir.
Öyleyse,
\(\)bir ∩ B={ } = ∅
Setler arasındaki fark
A ve B kümeleri arasındaki fark A – B kümesidir (“A ve B arasındaki fark” olarak okuyun). Bu set şunlardan oluşur: A kümesine ait olan ve B kümesine ait olmayan tüm elemanlar.
A – B'nin elemanlarını x ile göstererek şunu yazıyoruz:
\(A-B=\{x; x∈A\ ve\ x∉B\}\)
Aşağıdaki resimde turuncu bölge setA – B.
Dikkat: A ve B kümeleri arasındaki fark, B ve A kümeleri arasındaki fark değildir çünkü B – A, B kümesine ait olan ve A kümesine ait olmayan tüm elemanlardan oluşur.
Kümeler arasındaki farklarla ilgili aşağıdaki iki örneği inceleyin.
Örnek 1:
A = {-7, 2, 100} ve B = {2, 50} ise A – B kümesi nedir? Peki ya B – A kümesi?
SetA-B A kümesine ait tüm elemanlardan oluşur BuHAYIR B kümesine aittir. A kümesinde B kümesine de ait olan tek elemanın 2 olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla 2, A – B kümesine ait değildir.
Öyleyse,
A – B = {-7, 100}
Ayrıca B – A kümesi, B kümesine ait olan tüm elemanlardan oluşur. BuHAYIR A kümesine aittir. Öyleyse,
B – A = {50}
Örnek 2:
A = {–4, 0} kümesi ile B = {–3} kümesi arasındaki fark nedir?
A'nın hiçbir elemanının B'ye ait olmadığına dikkat edin. Dolayısıyla A – B farkı A kümesinin kendisidir.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Gözlem: U'nun (evren kümesi olarak adlandırılır) belirli bir durumda diğer tüm kümeleri içeren bir küme olduğunu düşünün. Bunun gibi, fark U–A, ile A⊂U, A'nın tamamlayıcısı olarak adlandırılan bir kümedir ve olarak tasvir edildi \(M.Ö\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Aşağıdaki görselde dikdörtgen evren kümesini, turuncu bölge ise evren kümesini göstermektedir. \(M.Ö\).
Daha fazlasını öğrenin: Adım adım bölme işlemi nasıl yapılır
Set işlemleriyle ilgili çözülmüş alıştırmalar
Soru 1
A = {–12, –5, 3} ve B = {–10, 0, 3, 7} kümelerini göz önünde bulundurun ve aşağıdaki her ifadeyi T (doğru) veya F (yanlış) olarak sınıflandırın.
BEN. Bir ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. bir ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Yukarıdan aşağıya doğru sıralama şu şekildedir:
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Çözünürlük
BEN. YANLIŞ.
0 ∈ B olduğundan 0 elemanı A ve B'nin birleşimine ait olmalıdır. Böylece, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Doğru.
III. Doğru.
Alternatif B.
soru 2
A = {4, 5}, B = {6,7} ve C = {7,8}'yi düşünün. O halde A ∪ B ∩ C kümesi şu şekildedir:
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Çözünürlük
A ∪ B = {4, 5, 6, 7} olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla A ∪ B ∩ C kümesi, A ∪ B = {4, 5, 6, 7} ile C = {7,8}'in kesişimidir. Yakında,
bir ∪ B ∩ C = {7}
Alternatif A.
Kaynaklar
LIMA, Elon L.. Analiz Kursu. 7 baskı. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. ve ark. Lise Matematik. 11. ed. Matematik Öğretmeni Koleksiyonu. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
