Ö kesik koni hacmi bu yuvarlak gövdenin kapladığı alandır. R yarıçaplı bir koninin kesiti daha küçük bir yarıçaplı koni ürettiğinden R ve kesik bir koni, bu üç katının hacimleri birbiriyle ilişkilidir.
sen de oku: Bir Piramidin Gövdesi Nasıl Hesaplanır?
Kesik koninin hacmi hakkında özet
- R yarıçaplı bir koni yükseklikte enine kesiyor H taban düzlemi iki geometrik cisme bölünmüştür: yarıçaplı bir koni R Bu bir gövde konisi.
- Kesik koninin ana unsurları yüksekliktir. H, yarıçapın en küçük tabanı R ve R yarıçaplı daha büyük taban.
- Kesik koninin hacmi, R yarıçaplı koninin hacmi ile yarıçaplı koninin hacmi arasındaki farktır. R.
- Kesik koninin hacminin formülü şu şekildedir:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Kesik koninin hacmi hakkında video dersi
Kesik koninin elemanları nelerdir?
R yarıçaplı bir sağ koninin kesitinden oluşturulan kesik bir koninin elemanları şunlardır:
- küçük taban – yarıçap dairesi R, R yarıçaplı koninin kesitinde elde edilmiştir.
- daha büyük taban – R yarıçaplı koninin dairesel tabanı.
- Yükseklik (h) – tabanların düzlemleri arasındaki mesafe.
- Generatrix – tabanları sınırlayan çevrelerde uçları olan segment.
A Aşağıdaki görüntü, kesik bir koninin öğelerini göstermektedir.. Küçük ve büyük tabanların paralel olduğuna dikkat edin.
Koni Gövdesi Hacim Formülü
Şimdi, kesik bir yüksekliğin hacminin formülünü çıkaralım. H, daha küçük taban yarıçapı R ve en büyük taban R'nin yarıçapı.
R yarıçaplı ve H yüksekliğindeki bir koninin kesitinin1 iki katı üretir:
- yıldırım konisi R ve yükseklik h2 Bu
- uzun bir gövde konisi H .
bunun farkına var \(H_1=H_2+h\).
R yarıçaplı koninin (biz buna daha büyük koni diyeceğiz) hacmi VR ile temsil edilecektir; yarıçap konisinin hacmi R (biz buna daha küçük koni diyeceğiz), Vr ile; ve Vt ile kesik koninin hacmi. Öyleyse:
\(V_R=V_r+V_t\)
Dikkat:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Gözlem: VR ve Vr koni hacimleridir. Bu konuyu incelemek için tıklayın Burada.
Bunun gibi:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
H2 terimi, küçük koninin yüksekliğine karşılık gelir. Konilerin yüksekliklerini tabanların ilgili yarıçaplarıyla ilişkilendirerek, yalnızca gövdenin elemanlarına bağlı olan gövdenin hacmi için bir formül elde edebiliriz (R,, R Bu H).
Daha büyük koninin yarıçapını ve yüksekliğini ilişkilendirme (R ve H1 ) küçük koninin yarıçapı ve yüksekliği ile (R ve H2), aşağıdaki orana sahibiz:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Yakında, bagaj hacmini yeniden yazabiliriz VT aşağıdaki gibi:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Bunun gibi, Kesik koninin hacminin formülü şu şekildedir::
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Şunu da okuyun: Çeşitli geometrik katıların hacim formülleri
Kesik koninin hacmi nasıl hesaplanır?
Kesik bir koninin hacmini hesaplamak için, sadece yükseklik ölçülerini, daha küçük tabanın yarıçapını ve daha büyük tabanın yarıçapını formülde değiştirin.
- Örnek: Daha büyük tabanın yarıçapı R olan kesik bir koninin hacmi santimetreküp cinsinden nedir? = 5 cm, küçük tabanın yarıçapı r = 3 ve yükseklik saat = 2 cm? (π kullanın=3 )
Formüldeki verileri yerine koyarsak:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Kesik koninin hacmi ile ilgili çözülmüş alıştırmalar
soru 1
Bir çömlek kesik bir koni şeklindedir ve en büyük taban yarıçapı R = 8 cm, en küçük taban yarıçapı r = 4 ve yükseklik saat = 2 cm. Bu kabın cm³ cinsinden hacmi:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Çözünürlük
Formüldeki verileri yerine koyarsak:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternatif D
soru 2
(Enem 2021) Bir kişi resimdeki gibi çorba içmek için bir kupa aldı.
1 cm³ = 1 mL olduğu ve kupanın üst kısmının çapı (D) 10 cm, tabanının çapı (d) 8 cm olan bir daire olduğu bilinmektedir.
Ayrıca bu kupanın yüksekliğinin (h) 12 cm (üst ve alt dairelerin merkezi arasındaki mesafe) olduğu bilinmektedir.
π için bir yaklaşım olarak 3 kullanın.
Bu kupanın mililitre cinsinden hacimsel kapasitesi nedir?
bir) 216
b) 408
732
2196
2928
Çözünürlük
Kupanın şekli, üst kısmın daha büyük taban olduğu kesik bir koni şeklindedir. Ayrıca, R=5, R = 4cm ve H = 12. Yakında:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
1 cm³ = 1 mL olduğuna göre 732 cm³ = 732 mL olur.
Alternatif C
kaynaklar:
DANTE, L. R. Matematik: bağlam ve uygulamalar - Lise. 3. ed. Sao Paulo: Attika, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. HAYIR. Temel Matematiğin Temelleri, Cilt 10: Uzamsal Geometri - Konum ve Metrik. 7 baskı Santos: Güncel, 2013.
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm