A küresel kapak ve geometrik katı bir küre bir düzlem tarafından yakalanıp onu iki geometrik katıya böldüğünde elde edilir. Küresel başlık yuvarlak bir gövde olarak kabul edilir, çünkü küre gibi yuvarlak bir şekle sahiptir. Küresel bir kapağın alanını ve hacmini hesaplamak için özel formüller kullanırız.
Şunu da okuyun: Koninin gövdesi - tabana paralel bir bölüm yapıldığında koninin alt tarafından oluşturulan geometrik katı
Küresel başlık hakkında özet
- Küresel başlık, küre bir düzleme bölündüğünde elde edilen geometrik bir katıdır.
- Küresel başlığın ana elemanları, kürenin yarıçapı, küresel başlığın yarıçapı ve küresel başlığın yüksekliğidir.
- Küresel başlık, bir polihedron değil, yuvarlak bir gövdedir.
- Düzlem küreyi ikiye bölerse, küresel başlık bir yarım küre oluşturur.
- Küresel başlığın yarıçapını aşağıdaki gibi düzenlenmiş Pisagor teoremini kullanarak hesaplamak mümkündür:
\(\sol (R-h\sağ)^2+r^2=R^2\)
- Küresel başlığın alanı, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
\(A=2\pi rh\ \)
- Küresel kapağın hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Küresel şapka nedir?
küresel kapak bir kesiti elde edildiğinde elde edilen geometrik katıdır. top yaygın düz. Küreyi bir düzlemle kestiğimizde, bu küreyi iki küresel başlığa bölüyoruz. Küreyi ikiye böldüğümüzde, küresel başlık yarım küre olarak bilinir.
Küresel başlık elemanları
Küresel bir başlıkta, ana elemanlar kürenin yarıçapı, küresel başlığın yarıçapı ve küresel başlığın yüksekliğidir.
- R → kürenin yarıçapı.
- r → küresel kapağın yarıçapı.
- h → küresel başlığın yüksekliği.
Küresel başlık bir polihedron mu yoksa yuvarlak bir gövde mi?
Kapağın geometrik bir katı olduğunu görebiliriz. Dairesel bir tabana ve yuvarlak bir yüzeye sahip olduğundan, küresel kapak bir olarak kabul edilir yuvarlak gövde, aynı zamanda devrim katı olarak da bilinir. belirtmekte fayda var ki, çokyüzlü tarafından oluşturulmuş yüzleri vardır çokgenlertarafından oluşturulan bir tabana sahip olan küresel başlık için durum böyle değildir. daire.
Küresel başlığın yarıçapı nasıl hesaplanır?
Küresel kapağın yarıçap uzunluğunu hesaplamak için, küresel kapağın h yüksekliğinin uzunluğunu ve kürenin R yarıçapının uzunluğunu bilmek gereklidir, çünkü aşağıdaki görselde de görebileceğimiz gibi bir Pisagor ilişkisi var.
sahip olduğumuza dikkat edin sağ üçgen, OO'B üçgeni, hipotenüs R ile ölçülür ve bacaklar R – h ve r ile ölçülür. Uygulamak Pisagor teoremi, Zorundayız:
\(\sol (R-h\sağ)^2+r^2=R^2\)
Örnek:
Kürenin yarıçapı 5 cm olduğuna göre yüksekliği 2 cm olan kürenin yarıçapı kaç cm dir?
Çözünürlük:
Pisagor ilişkisini uygulamak:
\(\sol (R-h\sağ)^2+r^2=R^2\)
\(\sol (5-2\sağ)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Küresel başlığın alanı nasıl hesaplanır?
Küresel kapağın alanını hesaplamak için, kürenin R yarıçapının uzunluğunun ve başlığın h yüksekliğinin ölçümünü bilmek gereklidir. Yüzey alanını hesaplamak için kullanılan formül:
\(A=2\pi Rh\)
- R → kürenin yarıçapı.
- h → küresel başlığın yüksekliği.
Örnek:
Yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 4 cm olan bir küreden küresel bir başlık elde edildi. Peki bu küresel başlığın yüzey alanı nedir?
Çözünürlük:
Küresel kapağın alanını hesaplayarak, elimizde:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Küresel kapağın hacmi nasıl hesaplanır?
Küresel kapağın hacmi iki şekilde hesaplanabilir. İlk formül, kürenin R yarıçapına ve h yüksekliğine bağlıdır:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Örnek:
Küresel başlığın yüksekliği 6 cm olan ve yarıçapı 8 cm olan bir küreden elde edilen küresel başlığın hacmi nedir?
Çözünürlük:
R ve h'nin değerini bildiğimiz için ilk formülü kullanacağız.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\sağ)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\sağ)\)
\(V=12\pi\sol (18\sağ)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Diğer küresel başlık hacmi formülü, küresel başlık yarıçapını r ve başlık yüksekliğini h dikkate alır:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
Örnek:
Yarıçapı 10 cm ve yüksekliği 4 cm olan küresel bir başlığın hacmi nedir?
Çözünürlük:
Bu durumda r = 10 cm ve h = 4 cm elde ederiz. Küresel kapağın yarıçapının değerini ve yüksekliğini bildiğimiz için ikinci formülü kullanacağız:
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\sağ)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\sağ)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\yaklaşık 210,7\ \pi\ cm³\)
Şuna da bakın: Piramit gövdesi - bir enine kesit alındığında piramidin tabanı tarafından oluşturulan geometrik katı
Küresel başlık üzerinde çözülmüş alıştırmalar
soru 1
(Enem) Bir şef, bir çocuk parti masasını süslemek için, çeşitli tatlıları şişlemek için destek görevi görecek, çapı 10 cm olan küresel bir kavun kullanacak. Şekilde gösterildiği gibi kavundan küresel bir başlık çıkaracak ve bu desteğin stabilitesini garanti etmek için, kavunun masa üzerinde yuvarlanmasını zorlaştıracak şekilde şef, dairesel kesim bölümünün yarıçapı r en az olacak şekilde kesecektir. eksi 3 cm. Öte yandan patron, şekerlemelerin gönderileceği bölgede olabildiğince fazla alana sahip olmak isteyecektir.
Tüm hedeflerine ulaşmak için, şefin kavunun tepesini santimetre cinsinden h yüksekliğinde kesmesi gerekir.
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
Ç) 1
D)4
D) 5
Çözünürlük:
Alternatif C
Kürenin çapının 10 cm olduğunu biliyoruz, yani yarıçapı 5 cm, yani OB = 5 cm.
Kesitin yarıçapı tam olarak 3 cm ise, şunu elde ederiz:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AÖ = 4 cm
Öyleyse:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
soru 2
Küresel bir başlığın alanı 144π cm²'dir. 9 cm yarıçapına sahip olduğu bilindiğinde, bu küresel başlığın yüksekliği:
A) 8cm
b) 10cm
Ç) 14cm
16cm
e) 22cm
Çözünürlük:
Alternatif A
Biz biliyoruz ki:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Yükseklik 8 cm'dir.
kaydeden Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm