Trigonometrik biçimdeki karmaşık sayılarla yapılan işlemler, bu kümenin öğelerini içeren hesaplamayı kolaylaştırır. Trigonometrik formdaki komplekslerin çarpma ve bölme işlemleri neredeyse anında yapılırken, cebirsel formda işlem daha fazla hesaplama gerektirir. Trigonometrik formdaki komplekslerin güçlendirilmesi ve radikalleştirilmesi de Moivre formüllerinin kullanımıyla kolaylaştırılmıştır. Bu sayıların köklenmesinin nasıl yapıldığını görelim:
Herhangi bir karmaşık sayı z = a + bi düşünün. z'nin trigonometrik formu:
z'nin n-endeks kökleri ikinci Moivre formülüyle verilir:
Örnek 1. 2i'nin kareköklerini bulun.
Çözüm: Önce karmaşık sayıyı trigonometrik biçimde yazmalıyız.
Tüm karmaşık sayılar z = a + bi biçimindedir. Öyleyse, yapmalıyız:
Şunu da biliyoruz:
Sinüs ve kosinüs değerleri ile şu sonuca varabiliriz:
Böylece, z = 2i'nin trigonometrik formu şöyledir:
Şimdi Moivre formülünü kullanarak z'nin kareköklerini hesaplayalım.
z'nin kareköklerini istediğimiz için iki farklı z kökü elde edeceğiz.0 ve z
k = 0 için
k = 1 için şunları elde ederiz:
Veya
Örnek 2. z = 1∙(cosπ + i∙senπ)'nin kübik köklerini alın
Çözüm: Karmaşık sayı zaten trigonometrik biçimde olduğundan, Moivre'nin formülünü kullanın. İfadeden ø = π ve |z| = 1. Böylece,
Üç farklı kökümüz olacak, z0, z1 ve z2.
k = 0 için
k = 1 için
veya z1 = – 1, çünkü cos π = – 1 ve sin π = 0.
k = 2 için
Marcelo Rigonatto tarafından
İstatistik ve Matematiksel Modelleme Uzmanı
Brezilya Okul Takımı
Karışık sayılar - Matematik - Brezilya Okulu
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm