Adım adım çözümlenmiş ve yorumlanmış alıştırmalarla aritmetik ve geometrik ilerlemeyi inceleyin.
1. Egzersiz
Bir AP'de a2 = 5 ve a7 = 15. a4'ü bulun ve bu AP'nin ilk beş terimini ekleyin.
Doğru cevap: a4 = 9 ve S = 35.
Çözünürlük
1. adım: nedenini belirleyin ve a4.
a2'den ayrılmak ve a7'ye varmak için, 7 ile 2 arasındaki "mesafe" olduğu için 5r ekliyoruz.
a4 terimi a2 artı 2r terimidir, çünkü a2'den a4'e ulaşmak için 2r'yi "ileriyiz". Yakın zamanda,
Bu nedenle, AP'nin dördüncü terimi 9'dur.
2. adım: Bu AP'nin ilk beş teriminin toplamını belirleyin.
Bir AP'nin terimlerinin toplamı şu şekilde verilir:
a1 = a2 - r (çünkü PA'da a2'den başlayarak bir konum geri gidiyoruz)
a1 = 5 - 2 = 3
a5 = a7 - 2r (çünkü PA'da a7'den başlayarak iki konum geriye gidiyoruz).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11
Egzersiz 2
(Havacılık 2021) Bir profesör, 3 sayısından başlayan ve sadece doğal sayılardan oluşan 8 dönemlik artan bir aritmetik dizi yazdı. Daha sonra, bu aritmetik dizinin ikinci, dördüncü ve sekizinci terimlerinin, bu sırayla, geometrik bir ilerleme oluşturduğunu fark etti. Profesör ayrıca bu geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamının şuna eşit olduğunu gözlemledi:
a) 42
b) 36
c) 18
d) 9
Cevap: a) 42
AP'ye göre, bir PG oluşturan terimler a2, a4 ve a8'dir:
Üç terimin toplamı:
r'yi belirlemek için geometrik ortalamayı kullanırız:
Her iki tarafın karesini alma
İlk terimin karesini alma ve ikinci terimi dağıtma:
r'yi denklem I'de yerine koyarsak:
Bu nedenle, ilk üç terimin toplamı 42'ye eşittir.
Egzersiz 3
(PM-SP 2019) 2015 yılında büyük bir petrol şirketi, parçaları soğutmak için kullanılan suyu yeniden kullanma sürecini başlattı. aritmetik ilerlemede, 2050 yılına kadar, her yıl yeniden kullanılacak su hacminde kademeli bir artış üretti ve projeksiyon yaptı. yıl.
Tablo, ilk 3 yılda yeniden kullanılan su hacimlerini göstermektedir:
An, yeniden kullanılan suyun hacmini milyonlarca m³ cinsinden, n = 1 ile gösteren aritmetik ilerlemenin genel terimi olsun, 2016 yılında yeniden kullanılan su hacmini temsil eden, n = 2, 2017 yılında yeniden kullanılan su hacmini temsil eden, vb. art arda.
Bu şartlar altında yapılması gereken
a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.
Doğru cevap: c) An = 0,5n + 23.
amaç
An'ı n'nin bir fonksiyonu olarak belirleyin.
Çözünürlük
Aritmetik ilerleme oranı 0,5'tir, çünkü 24 - 23,5 = 0,5'tir.
a1 = 23,5
Bir AP'nin genel terimi şu şekilde verilir:
Değerleri değiştirerek:
Egzersiz 4
(CEDERJ 2021) Dizi (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) 6 oranının aritmetik bir ilerlemesidir. Bu ilerlemenin dördüncü terimi,
a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.
Doğru cevap: a) 31
Çözünürlük
Dördüncü terim a3 + r'dir, şöyle:
Bulunan değerleri değiştirerek:
Egzersiz 5
(Enem 2021) Brezilya'da bir öğrencinin daha yüksek bir kursta mezun olana kadar eğitimini tamamlaması için gereken süre, 9 yıl ilkokul, 3 yıl lise ve 4 yıl mezuniyet (ortalama süre) dikkate alındığında 16 yaşında. Bununla birlikte, Brezilyalıların gerçeği, tabloda gösterildiği gibi, 14 yaşın üzerindeki kişilerin ortalama çalışma süresinin hala çok küçük olduğunu göstermektedir.
Bu kişiler için her dönemde çalışma süresindeki artışın bir yıla kadar sabit kaldığını düşünün. 2050, verilen daha yüksek dersi almak için gereken sürenin %70'i düzeyine ulaşılmasının amaçlandığını, Önceden.
14 yaş üstü kişilerin ortalama eğitim süresinin istenilen yüzdeye ulaştığı yıl olacak.
a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.
Doğru cevap: d) 2035.
1. kısım: 16'nın %70'ini belirleyin.
2. kısım: 11.2 yıllık eğitime kaç dönem sonra ulaşılacağını belirleyin.
Çalışma zamanı dizisi, 0,6 orana sahip bir aritmetik ilerlemedir (AP).
r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6
a1 = 5.2
11.2 yıl miktarına ulaşılacak:
11,2 miktarına ÖİB'nin 11. döneminde ulaşılacak.
3. kısım: Yılların PA'nın 11. döneminin hangisi olduğunu belirleyin.
Oran a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 yıl
Çözüm
Bir lisans derecesini tamamlamak için gereken 16 yılın %70'ine 2035 yılında ulaşılacaktır.
Egzersiz 6
(İtfaiye 2021) Bir uçak ve bir itfaiye aracı, sırasıyla 12.000 ve 8.000 litre su kapasiteli su depolarına sahiptir. Kamyonun 2.5 GPM pompası var, yani dakikada 2.5 galon pompalayabiliyor.
Bu varsayımsal durumdan, 1 galonun 3,8 litre suya eşit olduğunu göz önünde bulundurarak aşağıdaki maddeyi değerlendirin.
Bir su deposunun kapasitesi X bin litre ise, yani 8, X ve 12 geometrik dizilimde ise, bu sırada o tankın kapasitesi 10 bin litreden azdır.
Sağ
Yanlış
Doğru cevap: doğru
amaç
X < 10 olup olmadığını kontrol edin.
Çözünürlük
Geometrik bir ilerlemede, PG, orta terim, uçlar arasındaki geometrik ortalamadır.
Aslında, 96'nın yaklaşık karekökü 9.79'dur. Tankın X kapasitesinin 10 bin litreden az olduğu sonucuna varıyoruz.
Egzersiz 7
(Havacılık 2021) P.G. (24, 36, 54, ...). Bu G.P.'nin 5. ve 6. terimlerini ekleyerek. oldu
a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4
Doğru cevap: c) 1215/4
amaç
a5 + a6 ekle
Çözünürlük
Adım 1: q oranını belirleyin.
PG'nin nedeni:
Adım 2: a5'i belirleyin
a4 = a3. Q
a5 = a4. Q
a4'ü a5 ile değiştirmek:
Adım 3: a6'yı belirleyin
a6 = a5. Q
a5'i a6 ile değiştirmek:
Adım 4: Sayısal değerleri değiştirerek a5 + a6 ekleyin.
54'ü delil olarak koymak:
Egzersiz 8
(UERJ 2019) Aşağıda gösterilen A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3 üçgenlerinin çevre uzunlukları sırasıyla p1, p2, p3'tür. Bu üçgenlerin köşeleri, ikinciden başlayarak bir önceki üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır.
itiraf et .
Böylece (p1, p2, p3) aşağıdaki ilerlemeyi tanımlar:
a) oran aritmetiği = – 8
b) oran aritmetiği = – 6
c) geometrik oran = 1/2
d) geometrik oran = 1/4
Doğru cevap: c) geometrik oran = 1/2
Çözünürlük
Adım 1: p1, p2 ve p3 çevrelerini tanımlayın.
Paralellikle, iç üçgenin kenarlarının hemen dış üçgenin yarısı olduğunu doğrularız.
Örneğin, B2A2 = A1C2
Böylece, p2, p1'in yarısıdır, tıpkı p3'ün p2'nin yarısı olması gibi. Sahibiz:
Adım 2: İlerlemeyi birleştirin ve sınıflandırın.
p2'yi belirlemek için 18'in 1/2 ile çarpıldığı ortaya çıktı.
Ayrıca 9'un 1/2 ile çarpımı 4.5'tir.
Çözüm
İlerlemenin 1/2 oranında geometrik olduğunu doğrularız.
Egzersiz 9
(Enem 2021) Grafik, bir endüstrinin Ocak, Mart ve Nisan aylarında kaydettiği üretimi bildirir.
Lojistik sorunlar nedeniyle Şubat ayı üretim anketi gerçekleştirilememiştir. Ancak, diğer üç aya ilişkin bilgiler, grafikte izlenen trend eğrisinde gösterildiği gibi, bu dört aylık dönemde üretimin katlanarak arttığını gösteriyor.
Bu dönemdeki büyümenin katlanarak arttığını varsayarsak, bu sektörün Şubat ayındaki üretiminin bin adet olarak gerçekleştiği söylenebilir.
a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.
Doğru cevap: c) 240.
Çözünürlük
Bir PG'nin genel terimi, a1 ve q sabit sayılar olmak üzere, n'nin bir fonksiyonu olarak bir üstel a'dır.
a1 = 120
q oranı a4 / a3 ile şu şekilde belirlenebilir:
Şubat miktarı a2'dir ve a1'in q ile çarpılmasıyla elde edilir.
Bu nedenle Şubat ayındaki üretim 240 oldu.
Şunlarla daha fazla çalışın:
- Geometrik ilerleme egzersizleri
- Aritmetik ilerleme egzersizleri
Ayrıca bakınız:
- PA ve PG: özet, formüller ve alıştırmalar
- Geometrik ilerleme
- aritmetik ilerleme
