çarpanlarına ayırma polinomlar bir polinomu yeniden yazmak için geliştirilmiş yöntemlerden oluşur polinomlar arasında bir ürün olarak. Polinomu şu şekilde yazın çarpma işlemi iki veya daha fazla faktör arasında, cebirsel ifadelerin basitleştirilmesine ve bir polinomun anlaşılmasına yardımcı olur.
Farklı faktoring durumları vardır ve her biri için özel teknikler vardır.. Mevcut durumlar şunlardır: delilde ortak çarpanla çarpanlara ayırma, gruplandırarak çarpanlara ayırma, iki kare arasındaki fark, tam kare üç terimli, iki küpün toplamı ve iki küpün farkı.
Daha fazla oku:polinom nedir?
Faktoring polinomları hakkında özet
Polinomların çarpanlara ayrılması, polinomu polinomlar arasında bir ürün olarak temsil etmek için kullanılan tekniklerdir.
Bu çarpanlara ayırmayı basitleştirmek için kullanıyoruz cebirsel ifadeler.
-
Faktoring durumları şunlardır:
Kanıtlarda ortak faktöre göre çarpanlara ayırma;
Gruplandırmaya göre faktoring;
tam kare üç terimli;
iki kare farkı;
iki küpün toplamı;
iki küp farkı.
Polinom Faktoring Durumları
Bir polinomu çarpanlarına ayırmak için, faktoring durumlarından hangisinde durumun uygun olduğunu analiz etmek gerekir., varlık: delilde ortak çarpanla çarpanlara ayırma, gruplandırarak çarpanlara ayırma, iki kare arasındaki fark, tam kare üç terimli, iki küpün toplamı ve iki küpün farkı. Her birinde çarpanlara ayırmanın nasıl gerçekleştirileceğini görelim.
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
Kanıttaki ortak faktör
Polinomun tüm terimlerinde ortak bir çarpan olduğunda bu çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız.. Bu ortak faktör, bir faktör ve diğer faktör, çalışmanın sonucu olarak vurgulanacaktır. bölünme terimlerin bu ortak faktöre göre, parantez içine yerleştirilecektir.
Örnek 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Bu polinomun her bir terimini incelediğimizde, x'in tüm terimlerde tekrarlandığını görmek mümkündür. Ayrıca, tüm katsayılar (20, 12 ve 8) 4'ün katlarıdır, bu nedenle tüm terimler için ortak faktör 4x'tir.
Her terimi ortak faktöre bölersek:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Şimdi ortak çarpanı delile koyarak çarpanlara ayırmayı yazacağız ve toplam parantez içinde bulunan sonuçlardan:
4x (5y + 3x + 2y²)
Örnek 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Her terimin literal kısmı incelendiğinde a²b'nin hepsinde tekrar edildiğini görmek mümkündür. 2, 3 ve – 4'ü aynı anda bölen bir sayı olmadığını unutmayın. Yani ortak çarpan sadece a²b olacaktır.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4.5b³: a²b = 4a³
Böylece, bu polinomun çarpanlara ayrılması şöyle olacaktır:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Ayrıca bakınız: Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma — nasıl yapıldığını anlayın
gruplama
Bu yöntem polinomun tüm terimleri için ortak bir çarpan olmadığında kullanılır. Bu durumda ortak bir çarpana sahip olarak gruplandırılabilecek terimleri belirleyip öne çıkarıyoruz.
Örnek:
Aşağıdaki polinomu çarpanlarına ayırın:
balta + 4b + bx + 4a
A ve b olan terimleri ortak bölen olarak gruplandıracağız:
balta + 4a + bx + 4b
A ve b'yi ikiye ikiye bölerek kanıtlara koyarsak:
a(x+4)+b(x+4)
Parantez içindeki faktörlerin aynı olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu polinomu şu şekilde yeniden yazabiliriz:
(a + b) (x + 4)
tam kare üç terimli
Trinomlar, 3 terimli polinomlardır. Bir polinom, tam kare üç terimli olarak bilinir. toplam kare veya fark kare sonuç, yani:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Önemli: Her üç terim olduğunda bu polinom bir tam kare üç terimli olmayacaktır. Bu nedenle, çarpanlara ayırma işlemini gerçekleştirmeden önce, bu durumda trinomialin uygun olup olmadığı doğrulanmalıdır.
Örnek:
Faktör, mümkünse, polinom
x² + 10x + 25
Bu üç terimi analiz ettikten sonra, kare kök ilk ve son terim:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Merkezi terimin, yani 10x'in şuna eşit olduğunu doğrulamak önemlidir. \(2\cdot\ x\cdot5\). Gerçekten aynı olduğuna dikkat edin. Yani bu, çarpanlara ayrılabilen bir tam kare üçlü terimdir:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
iki kare farkı
İki kare farkımız olduğunda, bu polinomu, toplam ve farkın çarpımı olarak yeniden yazarak çarpanlarına ayırabiliriz..
Örnek:
Polinomu çarpanlara ayırın:
4x² – 36y²
İlk olarak, terimlerinin her birinin karekökünü hesaplayacağız:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Şimdi, bu polinomu bulunan köklerin toplamı ve farkının çarpımı olarak yeniden yazacağız:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Siz de okuyun: Tek terimlileri içeren cebirsel hesaplama — dört işlemin nasıl gerçekleştiğini öğrenin
iki küpün toplamı
İki küpün toplamı, yani a³ + b³, olarak çarpanlara ayrılabilir:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Örnek:
Polinomu çarpanlara ayırın:
x³ + 8
8 = 2³ olduğunu biliyoruz, yani:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
iki küp farkı
İki küpün farkı, yani a³ – b³, iki küpün toplamından farklı olarak, şu şekilde çarpanlarına ayrılabilir::
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Örnek:
Polinomu çarpanlara ayır
8x³ - 27
Biz biliyoruz ki:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Bu yüzden şunları yapmalıyız:
\(8x^3-27=\sol (2x-3\sağ)\)
\(8x^3-27=\sol (2x-3\sağ)\sol (4x^2+6x+9\sağ)\)
Polinomları çarpanlarına ayırma ile ilgili çözülmüş alıştırmalar
soru 1
Cebirsel İfadeyi Basitleştirmek için Polinom Çarpanlarına Ayırma Kullanma \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), bulacağız:
a) x + 2
B) x - 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Çözünürlük:
alternatif D
Paya baktığımızda, x² + 4x + 4'ün bir tam kare üç terimli hali olduğunu ve şu şekilde yeniden yazılabileceğini görüyoruz:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Pay x² – 4 iki karenin farkıdır ve şu şekilde yeniden yazılabilir:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Öyleyse:
\(\frac{\sol (x+2\sağ)^2}{\sol (x+2\sağ)\sol (x-2\sağ)}\)
x + 2 teriminin hem payda hem de paydada göründüğüne dikkat edin, bu nedenle sadeleştirme şu şekilde verilir:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
soru 2
(Unifil Enstitüsü) x ve y sayılarının x + y = 9 ve x² – y² = 27 olduğu düşünüldüğünde, x'in değeri şuna eşittir:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Çözünürlük:
alternatif C
x² – y²'nin iki kare arasındaki fark olduğuna ve toplam ile farkın çarpımı olarak çarpanlarına ayrılabileceğine dikkat edin:
x² – y² = (x + y) (x – y)
x + y = 9 olduğunu biliyoruz:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
O zaman bir ayarlayabiliriz denklem sistemi:
İki satırı ekleyerek:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
