Bir polinom denklemi sahip olması ile karakterize edilir. polinom sıfıra eşittir. Polinomun derecesi ile karakterize edilebilir ve bu derece ne kadar büyükse, çözümünü veya kökünü bulmadaki zorluk derecesi de o kadar büyük olur.
Cebirin temel teoreminin ne olduğunu anlamak da bu bağlamda önemlidir. her polinom denkleminin en az bir karmaşık çözümü vardır, başka bir deyişle: birinci dereceden bir denklemin en az bir çözümü olacak, ikinci dereceden bir denklemin en az iki çözümü olacak vb.
sen de oku: Polinomların sınıfları nelerdir?
Polinom Denklemi Nedir?
Bir polinom denklemi, sıfıra eşit bir polinom ile karakterize edilir, bu nedenle, P(x) = 0 türündeki her ifade bir polinom denklemidir, burada P(x) bir polinomdur. Aşağıda bir polinom denkleminin genel durumu ve bazı örnekler verilmiştir.
Yi hesaba katnumara, an-1, a n-2, …, NS1, a0 ve x gerçek sayılarve n pozitif bir tamsayıdır, aşağıdaki ifade n dereceli bir polinom denklemidir.
- Örnek
Aşağıdaki denklemler polinomlardır.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Polinomlar gibi, polinom denklemlerinin de dereceleri vardır. Bir polinom denkleminin derecesini belirlemek için katsayısı sıfırdan farklı olan en yüksek gücü bulun. Bu nedenle, önceki maddelerin denklemleri sırasıyla:
a) Denklem dördüncü derece:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Denklem lise:5x2 – 3 = 0.
c) Denklem Birinci derece:6x – 1 = 0.
d) Denklem üçüncü derece: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Bir polinom denklemi nasıl çözülür?
Bir polinom denklemini çözme yöntemi, derecesine bağlıdır. Bir denklemin derecesi ne kadar büyükse, onu çözmek o kadar zor olur. Bu yazıda, polinom denklemlerinin çözüm yöntemini göstereceğiz. birinci derece, ikinci derece ve bisquare.
Birinci Derecenin Polinom Denklemi
Birinci dereceden bir polinom denklemi şu şekilde tanımlanır: 1. derece polinom. Yani genel olarak birinci dereceden bir denklemi aşağıdaki gibi yazabiliriz.
İki gerçek sayı düşünün NS ve B ≠ 0 ile aşağıdaki ifade birinci dereceden bir polinom denklemidir:
balta + b = 0
Bu denklemi çözmek için şunu kullanmalıyız: denklik ilkesiyani eşitliğin bir tarafında çalıştırılan her şey diğer tarafta da çalıştırılmalıdır. Birinci dereceden bir denklemin çözümünü belirlemek için, bilinmeyeni izole edin. Bunun için ilk adım, B eşitliğin sol tarafında ve sonra çıkarmakkürekler b eşitliğin her iki tarafında.
balta + b - B = 0 - B
balta = - b
Bilinmeyen x'in değerinin izole edilmediğine, eşitliğin sol tarafından a katsayısının çıkarılması gerektiğine dikkat edin ve bunun için her iki tarafı da bölelim. NS.
- Örnek
5x + 25 = 0 denklemini çözün.
Problemi çözmek için denklik ilkesini kullanmalıyız. İşlemi kolaylaştırmak için eşitliğin sol tarafına işlemin yazılmasını atlayacağız. işareti değiştirerek (ters işlem) sayıyı diğer tarafa “geçeceğimizi” söylemekle eşdeğerdir.
Metnimize erişerek bu tür denklemleri çözme hakkında daha fazla bilgi edinin: Bilinmeyen ile birinci dereceden denklem.
İkinci Derecenin Polinom Denklemi
İkinci dereceden bir polinom denklemi, bir derece iki polinom. O halde a ≠ 0 olan a, b ve c gerçel sayılarını ele alalım. İkinci dereceden bir denklem şu şekilde verilir:
balta2 + bx + c = 0
Çözümünüz yöntemi kullanılarak belirlenebilir. bhaskara veya faktoring yoluyla. Bu tür denklemler hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, şunu okuyun: denklemeylemi sikinci Grau.
→ Bhaskara Yöntemi
Bhaskara'nın yöntemini kullanarak kökleri aşağıdaki formülle verilir:
- Örnek
x denkleminin çözümünü bulun2 – 3x + 2 = 0.
Denklemin katsayılarının sırasıyla a = 1, b = – 3 ve c = 2 olduğuna dikkat edin. Bu değerleri formülde değiştirerek şunları yapmalıyız:
→ çarpanlara ayırma
x ifadesini çarpanlara ayırmanın mümkün olduğunu görün2 – 3x + 2 = 0 fikrini kullanarak polinom çarpanlara ayırma.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Şimdi, sıfıra eşit bir ürünümüz olduğuna ve yalnızca faktörlerden biri sıfıra eşitse bir ürünün sıfıra eşit olduğuna dikkat edin, bu nedenle şunları yapmamız gerekir:
x – 2 = 0
x = 2
veya
x - 1 = 0
x = 1
Bakın denklemin çözümünü iki farklı yöntemle bulduk.
iki kare denklem
NS bisquare denklemi bu bir dördüncü dereceden bir polinom denkleminin özel durumu, normalde dördüncü dereceden bir denklem şu şekilde yazılır:
balta4 + bx3 + kutu2 + dx + e = 0
sayılar nerede bir B C D ve ve ≠ 0 ile gerçektir. Dördüncü dereceden bir denklem, katsayılar b = d = 0 olduğunda, yani denklem şu şekilde olduğunda bisquare olarak kabul edilir:
balta4 + kutu2 + ve = 0
Aşağıdaki örnekte bu denklemin nasıl çözüleceğine bakın.
- Örnek
x denklemini çöz4 – 10x2 + 9 = 0.
Denklemi çözmek için aşağıdaki bilinmeyen değişikliği kullanacağız ve denklem çift kare olduğunda, bu değişikliği yapacağız.
x2 =p
Bi-kare denkleminden, x olduğuna dikkat edin4 = (x2)2 ve bu nedenle şunları yapmalıyız:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
için2 – 10p + 9 = 0
Şimdi ikinci dereceden bir polinom denklemimiz olduğunu ve Bhaskara'nın yöntemini şu şekilde kullanabileceğimizi görün:
Ancak, alıştırmanın başında bilinmeyen bir değişiklik yapıldığını hatırlamalıyız, bu nedenle ikamede bulunan değeri uygulamalıyız.
x2 =p
p = 9 için şuna sahibiz:
x2 = 9
x' = 3
veya
x'' = – 3
p = 1 için
x2 = 1
x' = 1
veya
x'' = – 1
Bu nedenle, bisquare denkleminin çözüm kümesi:
S = {3, –3, 1, –1}
Siz de okuyun: Briot-Ruffini'nin pratik cihazı – polinomların bölünmesi
Cebirin Temel Teoremi (TFA)
Gauss tarafından 1799'da kanıtlanan cebirin temel teoremi (TFA), aşağıdaki gibi her polinom denkleminin en az bir karmaşık kökü olduğunu belirtir.
Bir polinom denkleminin kökü onun çözümüdür, yani eşitliği doğru yapan bilinmeyen değerdir. Örneğin, birinci dereceden bir denklemin, en az iki kökü olan ikinci dereceden bir denklemin ve en az dört kökü olan bir bisquare'in yaptığı gibi, önceden belirlenmiş bir kökü vardır.
çözülmüş alıştırmalar
soru 1 – Eşitliği sağlayan x değerini belirleyin.
2x – 8 = 3x + 7
Çözünürlük
Denklemi çözmek için, onu düzenlemek, yani tüm bilinmeyenleri eşitliğin sol tarafında bırakmak gerektiğine dikkat edin.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Denklik ilkesi ile eşitliğin her iki tarafını da aynı sayı ile çarpabiliriz ve x'in değerini bulmak istediğimiz için her iki tarafı da –1 ile çarpacağız.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
soru 2 – Marcos'un João'dan 20 R$ fazlası var. Birlikte, her bir çifti 80 R$'a mal olan ve hiç para bırakmadan iki çift spor ayakkabı almayı başardılar. John'un kaç reali var?
Çözünürlük
John'un 20 reali daha olduğu gibi, Mark'ın da x realisi olduğunu varsayın, yani onun x + 20'si var.
İşaretler → x gerçekler
João → (x + 20) gerçek
nasıl satın aldılar iki çift spor ayakkabı her birinin maliyeti 80 real, yani her birinin parçalarını bir araya getirirsek, şunları yapmamız gerekecek:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Bu nedenle, Mark'ın 70 reali ve João'nun 90 reali vardı.
Robson Luiz tarafından
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm