Üçgen oluşturmak için misketlerle oynadığınızı hayal edin. İlk önce bir topun küçük bir üçgen gibi olduğunu düşünebilirsiniz:
•
Sonra altlarına iki bilye yerleştirip üç köşeyi oluşturuyorsunuz. üçgen:
•
• •
Bunların altına üç top daha koyarsanız, başka bir üçgen oluşturacaktır:
•
• •
• • •
Daha önce yerleştirilen miktara göre top eklemenin her adımında, her zaman üçgen oluşumu olacaktır. Dört top daha ekleyerek oluşan üçgene bakın:
•
• •
• • •
• • • •
Her adımdaki toplam top sayısı, adı verilen bir sayı sınıfını karakterize eder. üçgen sayılar. Matematikçi Karl Friedrich Gauss, her üçgendeki toplam miktarı gösteren bir formül keşfetti. s1ilk üçgene karşılık geldi, s2, ikinci üçgene vb. Gauss tarafından açıklanan toplamlar ile başladı a ve, her aşamada, eklenen son sayının bir birimine karşılık gelen bir sayı eklendi:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Bu toplamların sonuçları üçgen sayılardı: 1, 3, 6, 10, 15... Bu toplamların her birinde oluşturulmuş bir kalıp olduğuna dikkat edin. Dikkatli baktığımızda her birinin bir
aritmetik ilerleme nedeni 1. Yani burada gauss toplamıBu, sabit bir oran toplamında, ilk öğeyi sonuncuya eklersek, ikinci öğeyi sondan bir öncekine eklemekle aynı sonucu elde edeceğimizi belirler. Toplamlar için Gauss toplam işleminin nasıl gerçekleştiğini görelim. s6 ve s7:
Üçgen sayıların toplamına uygulanan Gauss toplam işlemi
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
eğer durursa s6 ve s7 yukarıdaki resimdeki toplamları aldık, hadi bu toplamı çoğaltalım s8, S9, S10 ve s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
için bir toplam elde etmek için genelleyebiliriz snumara:
snumara = n. (n+1)n çift ise
2
snumara = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1n tek ise
2 2
tıpkı içinde olduğu gibi sayı büyüsü, üçgen sayılar hakkında başka bir ilginç gerçeği gösterebiliriz: sonraki üçgen sayıların toplamı her zaman tam kareler olarak sınıflandırılabilecek sayılar, yani kökü olan sayılarla sonuçlanır. Meydan. Görelim:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ve 121 elde edilen sonuçların tümü tam karelerdir.
Amanda Gonçalves tarafından
Matematik mezunu
Bu metne bir okulda veya akademik bir çalışmada atıfta bulunmak ister misiniz? Bakmak:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Üçgen Sayılar"; Brezilya Okulu. Uygun: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. 27 Temmuz 2021'de erişildi.
