Aritmetik İlerleme (PA)

bu Aritmetik İlerleme (PA) ardışık iki terim arasındaki farkın her zaman aynı olduğu bir sayı dizisidir. Bu sabit fark, P.A. olarak adlandırılır.

Böylece, dizinin ikinci öğesinden itibaren, görünen sayılar, önceki öğenin değeriyle sabitin toplamının sonucudur.

Onu geometrik ilerlemeden (PG) ayıran şey budur, çünkü burada sayılar oran ile çarpılırken aritmetik ilerlemede toplanırlar.

Aritmetik ilerlemeler sabit sayıda terime (sonlu P.A.) veya sonsuz sayıda terime (sonsuz P.A.) sahip olabilir.

Bir dizinin süresiz olarak devam ettiğini belirtmek için elipsler kullanırız, örneğin:

• (4, 7, 10, 13, 16, ...) dizisi sonsuz bir P.A'dır.
• dizi (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) sonlu bir P.A.

Bir P.A.'nın her terimi, dizide kapladığı konuma göre tanımlanır ve her terimi temsil etmek için bir harf kullanırız (genellikle harf ) ardından dizideki konumunu gösteren bir sayı gelir.

Örneğin, terim ₄ P.A'da (2, 4, 6, 8, 10), dizide 4. sırada yer alan sayı olduğu için 8 sayısıdır.

Bir P.A.'nın sınıflandırılması

Oran değerine göre, aritmetik ilerlemeler şu şekilde sınıflandırılır:

• sabit: oran sıfıra eşit olduğunda. Örneğin: (4, 4, 4, 4, 4...), burada r = 0.
• büyüyen: oran sıfırdan büyük olduğunda. Örneğin: (2, 4, 6, 8,10...), burada r = 2.
• Azalan: oran sıfırdan küçük olduğunda (15, 10, 5, 0, - 5,...), burada r = - 5

PA Özellikleri

1. mülk:

Sonlu bir P.A.'da, aşırı uçlardan eşit uzaklıkta olan iki terimin toplamı, aşırı uçların toplamına eşittir.

Misal

2. özellik:

Bir P.A.'nın ardışık üç terimi göz önüne alındığında, orta terim diğer iki terimin aritmetik ortalamasına eşit olacaktır.

Misal

3. özellik:

Tek sayıda terim içeren sonlu bir P.A.'da, merkezi terim, kendisinden eşit uzaklıkta olan terimler arasındaki aritmetik ortalamaya eşit olacaktır. Bu özellik ilkinden kaynaklanmaktadır.

Genel Terim Formülü

Nerede,

an: hesaplamak istediğimiz terim
a1: P.A.'nın ilk terimi
n: keşfetmek istediğimiz terimin konumu
r: sebep

Formül açıklaması

Bir P.A. oranı sabit olduğundan, değerini herhangi bir ardışık terimden hesaplayabiliriz, yani:

Bu nedenle, PA'nın ikinci teriminin değerini aşağıdakileri yaparak bulabiliriz:

Üçüncü terimi bulmak için aynı hesaplamayı kullanacağız:

a değerinin değiştirilmesi₂, daha önce bulduğumuz, elimizde:

Aynı mantığı takip edersek şunları bulabiliriz:

Bulunan sonuçları gözlemleyerek, her terimin, önceki konumla çarpılan oran ile ilk terimin toplamına eşit olacağını not ediyoruz.

Bu hesaplama, aritmetik bir ilerlemenin herhangi bir öğesini bilmemizi sağlayan P.A.'nın genel teriminin formülüyle ifade edilir.

Misal

PA'nın 10. terimini hesaplayın: (26, 31, 36, 41, ...)

Çözüm

Önce şunu tespit etmeliyiz:

₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10. terim).

Bu değerleri genel terim formülünde yerine koyarsak:

_Hayır =₁ + (n - 1). r
₁₀ = 26 + (10-1). 5
₁₀ = 26 + 9 .5
₁₀ = 71

Bu nedenle, belirtilen aritmetik ilerlemenin onuncu terimi 71'e eşittir.

Herhangi bir k teriminden genel terim formülü

Genellikle, an dediğimiz herhangi bir genel terimi tanımlamak için ilk a1 terimine sahip değiliz, ancak ak dediğimiz başka bir terim biliyoruz.

Herhangi bir k teriminden genel terim formülünü kullanabiliriz:

Tek farkın, birinci formüldeki dizin 1'den ikincideki k'ye değişiklik olduğuna dikkat edin.

Olmak,

an: PA'nın n'inci terimi (herhangi bir n konumunda bir terim)
ak: bir P.A.'nın k'inci terimi (herhangi bir k konumunda bir terim)
r: sebep

Bir P.A.'nın Terimlerinin Toplamı

Sonlu bir PA'nın terimlerinin toplamını bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:

Nerede,

s_Hayır: P.A.'nın ilk n teriminin toplamı
₁: P.A.'nın ilk dönemi
_Hayır: dizideki n. sırayı kaplar (n konumundaki bir terim)
Hayır: dönem pozisyonu

Ayrıca hakkında okuyun PA ve PG.

Egzersiz çözüldü

1. Egzersiz

PUC/RJ - 2018

(y, 7, z, 15) dizisindeki sayıların aritmetik dizilimde olduğu bilindiğine göre, y + z toplamı kaçtır?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3.5
e) 2

Yanıtı Gör

z'nin değerini bulmak için, ardışık üç terimimiz olduğunda orta terimin diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşit olacağını söyleyen özelliği kullanabiliriz. Böylece sahibiz:

z 11'e eşitse, oran şuna eşit olacaktır:

r = 11 - 7 = 4

Bu şekilde, y şuna eşit olacaktır:

y = 7 - 4 = 3

Bu nedenle:

y+z = 3 + 11 = 14

Alternatif: b) 14

Egzersiz 2

UFRS - 2017

Aşağıdaki şekilde, tümü a yüksekliğinde bir dikdörtgen dizimiz var. İlk dikdörtgenin tabanı b'dir ve sonraki dikdörtgenler, bir öncekinin taban değeri artı bir ölçü birimidir. Böylece, ikinci dikdörtgenin tabanı b+1 ve üçüncüsü b+2'dir ve bu böyle devam eder.

Aşağıdaki ifadeleri düşünün.

I - Dikdörtgen alanlarının sırası, oran 1'in aritmetik ilerlemesidir.
II - Dikdörtgen alanlarının sırası, a oranının aritmetik bir ilerlemesidir.
III - Dikdörtgenlerin alanlarının dizisi, a oranının geometrik bir ilerlemesidir.
IV - n'inci dikdörtgenin alanı (A_Hayır) formül A ile elde edilebilir_Hayır = bir. (b + n - 1).

Doğru ifade(ler)i içeren alternatifi kontrol edin.

Orada.
b) II.
c) III.
d) II ve IV.
e) III ve IV.

Yanıtı Gör

Dikdörtgenlerin alanını hesaplayarak, elimizde:

bir = bir. B
bu₁ = bir. (b + 1) = a. b + bir
bu₂ = bir. (b + 2) = a. B. + 2.
bu₃ = bir. (b + 3) = a. b + 3a

Bulunan ifadelerden, dizinin şuna eşit bir P.A. oranı oluşturduğunu not ediyoruz. . Diziye devam ederek, n'inci dikdörtgenin alanını bulacağız, bu şu şekilde verilir:

bu_Hayır= bir. b + (n - 1) .a
bu_Hayır = bir. b+a. de

koyarak kanıt olarak elimizde:

bu_Hayır = bir (b + n - 1)

Alternatif: d) II ve IV.

Egzersiz 3

UERJ

Sporcular tarafından alınan uyarıların yalnızca sarı kartlarla temsil edildiği bir futbol şampiyonasının düzenlendiğini kabul edin. Bu kartlar, aşağıdaki kriterlere göre para cezasına dönüştürülür:

• Alınan ilk iki kart ceza oluşturmaz;
• Üçüncü kart, 500,00 R$ para cezasına neden olur.
• Aşağıdaki kartlar, değerleri her zaman önceki cezanın değerine göre 500,00 R$ artan cezalar oluşturur.

Tablo, bir sporcuya uygulanan ilk beş kartla ilgili cezaları göstermektedir.

Şampiyona sırasında 13 sarı kart gören bir sporcuyu düşünün. Tüm bu kartlar tarafından oluşturulan para cezalarının reel olarak toplam tutarı:

a) 30.000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Yanıtı Gör

Doğru cevap: b) 33 000

Üçüncü sarı karttan itibaren, cezanın miktarı P.A.'da 500,00 R$ oranında artar. İlk terim olan a1, üçüncü kartın değeri olan R$500.00 ile birlikte.

Para cezalarının toplam miktarını belirlemek için, P.A.'nın şartlarının toplamı formülünü kullanmalıyız.

Sporcunun 13 sarı kartı olduğu, ancak ilk ikisi ceza oluşturmadığı için 13-2 terim, yani 11 terimlik bir P.A. yapacağız.

Böylece, aşağıdaki değerlere sahibiz:

a1 = 500
sayı = 11
r = 500

n'inci terim olan a11'in değerini bulmak için genel terim formülünü kullanırız.

an = a1 + (n-1).r
a21 = 500 +(11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Bir P.A.'nın terimlerinin toplamı formülünü uygulamak.

Daha fazla alıştırma çözün:

Aritmetik İlerleme - Alıştırmalar

Ayrıca okuyarak daha fazla bilgi edinin:

• Sayısal Sıra
• Geometrik ilerleme
• Geometrik İlerleme - Alıştırmalar
• Matematik Formülleri