Pisagor Teoremi: Çözülmüş ve Yorumlanmış Alıştırmalar

Pisagor teoremi, bir dik üçgende hipotenüsün karesinin, bacak ölçülerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu gösterir.

Bu önemli içerikle ilgili tüm şüphelerinizi yanıtlamak için çözülmüş ve yorumlanmış alıştırmalardan yararlanın.

Önerilen alıştırmalar (çözünürlükle)

soru 1

Carlos ve Ana aynı noktadan, yaşadıkları binanın garajından çalışmak için evden ayrıldılar. 1 dakika sonra, dik bir yol izleyerek aralarında 13 m mesafe vardı.

Bu süre zarfında Carlos'un arabası Ana'nınkinden 7 m daha fazla yol yaptıysa, garajdan ne kadar uzaktaydılar?

a) Carlos garajdan 10 m, Ana ise 5 m uzaktaydı.
b) Carlos garajdan 14 m, Ana ise 7 m uzaktaydı.
c) Carlos garajdan 12 m, Ana ise 5 m uzaktaydı.
d) Carlos garajdan 13 m, Ana ise 6 m uzaktaydı.

Yanıtı Gör

Doğru cevap: c) Carlos garajdan 12 m, Ana ise 5 m.

Bu soruda oluşan dik üçgenin kenarları:

• hipotenüs: 13 m
• daha büyük bacak: 7 + x
• kısa bacak: x

Pisagor teoremindeki değerleri uygulayarak şunları elde ederiz:

Şimdi x'in değerini bulmak için Bhaskara'nın formülünü uyguluyoruz.

Bir uzunluk ölçüsü olduğu için pozitif değeri kullanmalıyız. Dolayısıyla bu soruda oluşan dik üçgenin kenarları:

• hipotenüs: 13 m
• uzun bacak: 7 + 5 = 12 m
• daha kısa bacak: x = 5 m

Böylece Ana garajdan 5 metre, Carlos ise 12 metre uzaklıktaydı.

soru 2

Carla yavru kedisini ararken onu bir ağacın tepesinde gördü. Daha sonra annesinden yardım istedi ve kedinin inmesine yardım etmek için ağacın yanına bir merdiven koydular.

Kedinin yerden 8 metre yükseklikte olduğu ve merdivenin tabanının ağaçtan 6 metre uzaklıkta olduğu bilindiğinde, yavru kediyi kurtarmak için merdiven ne kadar süre kullanıldı?

a) 8 metre.
b) 10 metre.
c) 12 metre.
d) 14 metre.

Yanıtı Gör

Doğru cevap: b) 10 metre.

Kedinin bulunduğu yüksekliğin ve merdivenin tabanının yerleştirildiği mesafenin bir dik açı oluşturduğuna, yani 90 derecelik bir açı oluşturduğuna dikkat edin. Merdiven dik açının karşısına yerleştirildiğinden, uzunluğu dik üçgenin hipotenüsüne karşılık gelir.

Pisagor teoreminde verilen değerleri uygulayarak hipotenüsün değerini buluruz.

Bu nedenle merdiven 10 metre uzunluğundadır.

Soru 3

Aşağıdaki alternatiflerde sunulan ölçülere göre hangisi bir dik üçgenin değerlerini sunar?

a) 14 cm, 18 cm ve 24 cm
b) 21 cm, 28 cm ve 32 cm
c) 13 cm, 14 cm ve 17 cm
d) 12 cm, 16 cm ve 20 cm

Yanıtı Gör

Doğru cevap: d) 12 cm, 16 cm ve 20 cm.

Verilen ölçülerin bir dik üçgen oluşturup oluşturmadığını bulmak için her alternatif için Pisagor teoremini uygulamamız gerekir.

a) 14 cm, 18 cm ve 24 cm

b) 21 cm, 28 cm ve 32 cm

c) 13 cm, 14 cm ve 17 cm

d) 12 cm, 16 cm ve 20 cm

Bu nedenle, en uzun kenar olan hipotenüsün karesi, bacakların karesinin toplamına eşit olduğundan, 12 cm, 16 cm ve 20 cm ölçüleri bir dik üçgenin kenarlarına karşılık gelir.

4. soru

Bir kenarı 3 m, 4 m ve 5 m ölçülerinde bir dik üçgenin hipotenüsünde bulunan aşağıdaki geometrik şekillere dikkat edin.

BCD eşkenar üçgeninin yüksekliğini (h) ve BCFG karesinin köşegen değerini (d) bulun.

a) h = 4.33 m ve d = 7.07 m
b) h = 4.72 m ve d = 8.20 m
c) h = 4.45 m ve d = 7.61 m
d) h = 4.99 m ve d = 8.53 m

Yanıtı Gör

Doğru cevap: a) h = 4.33 m ve d = 7.07 m.

Üçgenin eşkenar olması, üç kenarının da aynı ölçüye sahip olduğu anlamına gelir. Üçgenin yüksekliğine karşılık gelen bir çizgi çizerek onu iki dik üçgene böldük.

Aynı şey kare için de geçerlidir. Çapraz çizgisini çizdiğimizde iki dik üçgen görebiliriz.

Pisagor teoremindeki ifadeden gelen verileri uygulayarak, değerleri aşağıdaki gibi keşfederiz:

1. Üçgenin yüksekliğinin hesaplanması (dik üçgen bacak):

Daha sonra yüksekliği hesaplama formülüne ulaşıyoruz. Şimdi, L'nin değerini yerine koy ve hesapla.

2. Karenin köşegeninin hesaplanması (sağ üçgenin hipotenüsü):

Bu nedenle, BCD eşkenar üçgeninin yüksekliği 4.33 ve BCFG karesinin köşegen değeri 7.07'dir.

Ayrıca bakınız: Pisagor teoremi

Giriş Sınavı Sorunları Çözüldü

soru 5

(Cefet/MG - 2016) Aşağıda şekli gösterilen uçurtma ABCD dörtgen formatında yapılmıştır. ve . Çubuk uçurtmanın çubukla kesişmesi orta noktasında E, bir dik açı oluşturuyor. Bu uçurtmanın yapımında, kullanılan sırasıyla 25 cm ve 20 cm'dir ve eşittir ölçüsünün .

Bu koşullar altında, ölçü , cm cinsinden eşittir

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: c) 55.

Sorudaki şekle baktığımızda bulmak istediğimiz DE segmentinin BE segmentini çıkararak BD segmenti ile aynı olduğunu görüyoruz.

O halde, BE doğru parçasının 20 cm'ye eşit olduğunu bildiğimize göre, BD doğru parçasının değerini bulmamız gerekiyor.

Sorunun bize aşağıdaki bilgileri verdiğini unutmayın:

BD'nin ölçüsünü bulmak için AC doğru parçasının değerini bilmemiz gerekir.

E noktası doğru parçayı iki eşit parçaya (orta nokta) böldüğünden, . Bu nedenle, ilk adım CE segment ölçüsünü bulmaktır.

CE ölçümünü bulmak için, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi, BCE üçgeninin bir dikdörtgen, BC'nin hipotenüs ve BE ve CE'nin bacaklar olduğunu belirledik:

Daha sonra bacağın ölçüsünü bulmak için Pisagor teoremini uygulayacağız.

25² = 20²+x²
625 = 400 + x²
x² = 625 - 400
x² = 225
x = √225
x = 15 cm

Yakayı bulmak için üçgenin Pisagor olduğunu, yani kenarlarının ölçümlerinin 3, 4, 5 üçgeninin ölçümlerinin katları olduğunu da gözlemleyebilirdik.

Böylece, 4 ile 5'i çarptığımızda yakanın (20) değerini ve 5 ile 5'i çarptığımızda hipotenüs (25) elde ederiz. Bu nedenle, diğer bacak sadece 15 (5.5) olabilir. 3).

Artık EC değerini bulduğumuza göre diğer ölçüleri de bulabiliriz:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm

Bu nedenle, ölçü 55 cm'ye eşittir.

Ayrıca bakınız: Pisagor

6. soru

(UFRS - 2017) Kenarı 5√3 ܿ݉ olan bir eşkenar üçgen düşünün. Sırasıyla bu üçgenin yüksekliği ve alanı nedir?

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: e) 7,5 cm ve 75√3/4 cm²

İlk önce eşkenar üçgeni çizelim ve aşağıdaki resimde gösterildiği gibi yüksekliği çizelim:

Üçgen eşkenar olduğu için yüksekliğin tabanı aynı ölçünün iki parçasına böldüğüne dikkat edin. Ayrıca şekildeki ACD üçgeninin bir dik üçgen olduğuna dikkat edin.

Böylece yükseklik ölçüsünü bulmak için Pisagor teoremini kullanacağız:

Yükseklik ölçümünü bilerek, alanı aşağıdaki formülle bulabiliriz:

7. soru

(UFRS - 2016) Aşağıdaki şekilde sırasıyla x ve y'nin değeri,

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: a) 4√2 ve √97.

x'in değerini bulmak için, kenarları 4 cm'ye eşit olan dik üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

y'nin değerini bulmak için, şimdi bir bacağın 4 cm ve diğerinin 9 cm (4 + 5 = 9) olduğunu göz önünde bulundurarak Pisagor teoremini de kullanacağız.

y² = 4² + 9²
y² = 16 + 81
y = √97 cm

Dolayısıyla x ve y'nin değeri sırasıyla 4√2 ve √97'dir.

soru 8

(Çırak Denizci - 2017) Aşağıdaki şekle bakın.

Yukarıdaki şekilde, AB doğru parçasının 3 cm, eşit olmayan AD kenarının 10√2 cm ve AC ve CD doğru parçalarının dik olduğu bir ACD ikizkenar üçgeni vardır. Bu nedenle, BD segmentinin şunları ölçtüğünü söylemek doğrudur:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: d) √149 cm

Problemde sunulan bilgileri göz önünde bulundurarak aşağıdaki şekli oluşturuyoruz:

Şekle göre, x'in değerini bulmak için a dediğimiz kenarın ölçüsünü bulmanın gerekli olacağını buluyoruz.

ACD üçgeni bir dikdörtgen olduğundan, a ayağının değerini bulmak için Pisagor teoremini uygulayacağız.

Artık a'nın değerini bildiğimize göre, BCD dik üçgenini dikkate alarak x'in değerini bulabiliriz.

BC bacağının, bacağın ölçümü eksi 3 cm, yani 10 - 3 = 7 cm'ye eşit olduğuna dikkat edin. Pisagor teoremini bu üçgene uygularsak:

Bu nedenle BD segmentinin √149 cm olduğunu söylemek doğru olur.

9. soru

(IFRJ - 2013) Bir Federal Enstitüsü'nün Arrozal Kampüsü'ndeki spor sahası, bu şekilde ABCD dikdörtgeni ile temsil edilen, 100 m uzunluğunda ve 50 m genişliğinde dikdörtgen şeklindedir.

Alberto ve Bruno, avluda spor yapan iki öğrencidir. Alberto, dikdörtgenin köşegeni boyunca A noktasından C noktasına yürür ve aynı yol boyunca başlangıç ​​noktasına geri döner. Bruno B noktasından başlar, avlunun etrafını tamamen döner, yan çizgiler boyunca yürür ve başlangıç ​​noktasına geri döner. Böylece √5 = 2.24 dikkate alındığında Bruno'nun Alberto'dan daha fazla yürüdüğü belirtilir.

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: c) 76 m.

Dikdörtgenin köşegeni onu iki dik üçgene böler, hipotenüs köşegendir ve kenarlar dikdörtgenin kenarlarına eşittir.

Köşegen ölçüsünü hesaplamak için Pisagor teoremini uygulayalım:

Alberto ise gidip geri geldi, bu yüzden 224 m'yi kapladı.

Bruno, dikdörtgenin çevresine eşit bir mesafe kat etti, başka bir deyişle:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Bu nedenle Bruno, Alberto'dan 76 m daha uzun yürüdü (300 - 112 = 76 m).

10. soru

(Düşman - 2017) Bir çocuk partisi masasını süslemek için bir şef, çeşitli tatlıları şişirmek için bir destek görevi görecek, çapı 10 cm olan küresel bir kavun kullanacaktır. Şekilde gösterildiği gibi kavundan küresel bir jant kapağını çıkaracak ve bu desteğin stabilitesini sağlamak için, kavunun masanın üzerinde yuvarlanmasını zorlaştıracak şekilde, patron dairesel kesim bölümünün yarıçapı r tüylü olacak şekilde kesecektir. eksi 3 cm. Öte yandan şef, tatlıların sabitleneceği bölgede mümkün olan en geniş alana sahip olmak isteyecektir.

Tüm hedeflerine ulaşmak için patron, kavun kapağını h yüksekliğinde, santimetre cinsinden kesmelidir.

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: c) 1

Soruda sunulan şekli gözlemleyerek, kürenin yarıçapının (R) ölçüsünden OA segmentinin ölçüsünü azaltarak h yüksekliğinin bulunabileceğini belirledik.

Kürenin yarıçapı (R), çapının yarısına eşittir, bu durumda 5 cm'ye (10: 2 = 5) eşittir.

Bu yüzden OA segmentinin değerini bulmamız gerekiyor. Bunun için aşağıdaki şekilde temsil edilen OAB üçgenini ele alacağız ve Pisagor teoremini uygulayacağız.

5² = 3² + x²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Pisagor üçgeni 3,4 ve 5 olduğuna dikkat ederek x'in değerini de doğrudan bulabiliriz.

Yani h'nin değeri şuna eşit olacaktır:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm

Bu nedenle şef kavun kapağını 1 cm yükseklikte kesmelidir.

11. soru

(Enem - 2016 - 2. uygulama) Boccia, düz ve düz arazilerde, çevre tahta platformlarla sınırlandırılmış kortlarda oynanan bir spordur. Bu sporun amacı, sentetik bir malzemeden yapılmış toplar olan topları fırlatmaktır. daha önce tercihen çelikten yapılmış daha küçük bir top olan bolime mümkün olduğunca yakın yerleştirin. başlattı. Şekil 1, bir sahada oynanan bir bocce topunu ve bir bolimi göstermektedir. Bir oyuncunun, şekil 2'de gösterildiği gibi, civataya yaslanmış, yarıçapı 5 cm olan ve yarıçapı 2 cm olan bir topu fırlattığını varsayalım.

C noktasını topun merkezi olarak ve O noktasını topun merkezi olarak kabul edin. A ve B'nin sırasıyla bocce topunun ve bollin'in saha zeminine değdiği noktalar olduğu ve A ile B arasındaki mesafenin d'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu koşullar altında, d ile bolimin yarıçapı arasındaki oran nedir?

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: e) √10

A ve B noktaları arasındaki d uzaklığının değerini hesaplamak için, aşağıda gösterildiği gibi iki kürenin merkezlerini birleştiren bir şekil oluşturalım:

Mavi noktalı şeklin trapez şeklinde olduğuna dikkat edin. Bu trapezi aşağıda gösterildiği gibi bölelim:

Trapezi bölerek bir dikdörtgen ve bir dik üçgen elde ederiz. Üçgenin hipotenüsü, bocce topunun yarıçapı ile bolimin yarıçapının toplamına eşittir, yani 5 + 2 = 7 cm.

Bacaklardan birinin ölçümü d'ye eşittir ve diğer bacağın ölçümü, bocce topunun yarıçapı olan CA segmentinin ölçümü eksi bolim yarıçapına (5 - 2 = 3) eşittir. .

Bu şekilde, Pisagor teoremini bu üçgene uygulayarak d'nin ölçüsünü bulabiliriz, yani:

7² = 3² - nın-nin²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Bu nedenle, d mesafesi ile bolim arasındaki oran şu şekilde verilecektir:.

soru 12

(Enem - 2014) Günlük bir konut 20 160 Wh tüketir. Bu konutta 100 güneş pili var 6 cm x 8 ölçülerinde dikdörtgen (güneş ışığını elektrik enerjisine dönüştürebilen cihazlar) santimetre. Bu hücrelerin her biri gün boyunca santimetre köşegen başına 24 Wh üretir. Bu evin sahibi, günde tam olarak evinin tükettiği enerji miktarını üretmek istiyor. Bu sahibi amacına ulaşması için ne yapmalıdır?

a) 16 hücreyi kaldırın.
b) 40 hücreyi kaldırın.
c) 5 hücre ekleyin.
d) 20 hücre ekleyin.
e) 40 hücre ekleyin.

Yanıtı Gör

Doğru alternatif: a) 16 hücreyi kaldırın.

İlk olarak, her bir hücrenin enerji çıktısının ne olduğunu bulmanız gerekecek. Bunun için dikdörtgenin köşegeninin ölçüsünü bulmamız gerekiyor.

Köşegen, bacakları 8 cm ve 6 cm olan üçgenin hipotenüsüne eşittir. Daha sonra Pisagor teoremini uygulayarak köşegeni hesaplayacağız.

Ancak, söz konusu üçgenin Pisagor olduğunu, 3,4 ve 5 üçgeninin katı olduğunu not ediyoruz.

Bu şekilde, Pisagor üçgeni 3,4 ve 5'in kenarları 2 ile çarpıldığı için hipotenüsün ölçümü 10 cm'ye eşit olacaktır.

Artık diyagonal ölçümü bildiğimize göre, 100 hücre tarafından üretilen enerjiyi hesaplayabiliriz, yani:

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Tüketilen enerji 20 160 Wh olduğu için hücre sayısını azaltmamız gerekecek. Bu sayıyı bulmak için şunları yapacağız:

24 000 - 20 160 = 3 840 Wh

Bu değeri bir hücrenin ürettiği enerjiye bölerek azaltılması gereken sayıyı buluruz, yani:

3 840: 240 = 16 hücre

Bu nedenle, sahibinin amacına ulaşması için yaptığı eylem, 16 hücreyi çıkarmak olmalıdır.

Daha fazla bilgi edinmek için ayrıca bakınız: Trigonometri Egzersizleri