Üçgenlerin Benzerliği: Yorumlanmış ve Çözülmüş Alıştırmalar

bu üçgen benzerliği Bir üçgenin bilinmeyen ölçüsünü başka bir üçgenin ölçülerini bilerek bulmak için kullanılır.

İki üçgen benzer olduğunda, karşılık gelen kenarlarının ölçümleri orantılıdır. Bu ilişki birçok geometri problemini çözmek için kullanılır.

Bu nedenle, tüm şüphelerinizi çözmek için yorumlanmış ve çözülmüş alıştırmalardan yararlanın.

Çözülen sorunlar

1) Denizcinin Çırağı - 2017

Aşağıdaki şekle bakın

Bir bina, 6 m boyundaki bir kişinin 2,0 m'lik bir gölge oluşturduğu anda yere 30 m uzunluğunda bir gölge düşürür. Binanın yüksekliğinin değer olduğu söylenebilir.

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Yanıtı Gör

Binanın, yansıttığı gölgenin ve güneş ışınlarının bir üçgen oluşturduğunu düşünebiliriz. Aynı şekilde kişi, gölgesi ve güneş ışınlarından oluşan bir üçgenimiz de var.

Güneş ışınlarının paralel olduğu ve bina ile zemin ve kişi arasındaki açının zemin 90º'ye eşittir, aşağıdaki şekilde gösterilen üçgenler benzerdir (iki açı eşittir).

Üçgenler benzer olduğu için aşağıdaki oranı yazabiliriz:

Alternatif: a) 27 m

2) Füvest - 2017

Şekilde ABCD dikdörtgeninin kenar uzunlukları AB = 4 ve BC = 2'dir. Kenarın orta noktası M olsun ve N kenarın orta noktası . segmentler segmenti kesmek sırasıyla E ve F noktalarında.

AEF üçgeninin alanı eşittir

Yanıtı Gör

AEF üçgeninin alanı, aşağıda gösterildiği gibi ABE üçgeninin alanını AFB üçgeninin alanından azaltarak bulunabilir:

AFB üçgeninin alanını bularak başlayalım. Bunun için taban değeri bilindiği için (AB=4) bu üçgenin yükseklik değerini bulmamız gerekiyor.

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, AFB ve CFN üçgenlerinin iki eşit açıya sahip olmaları (AA durumu) açısından benzer olduğuna dikkat edin:

H yüksekliğini çizelim₁, AB kenarına göre, AFB üçgeninde. CB kenarının ölçüsü 2'ye eşit olduğundan, FNC üçgeninde NC kenarının göreceli yüksekliğinin 2 - H'ye eşit olduğunu düşünebiliriz.₁.

Daha sonra aşağıdaki oranı yazabiliriz:

Üçgenin yüksekliğini bilerek alanını hesaplayabiliriz:

ABE üçgeninin alanını bulmak için yükseklik değerini de hesaplamanız gerekecektir. Bunun için aşağıdaki şekilde gösterilen ABM ve AOE üçgenlerinin benzer olduğu gerçeğini kullanacağız.

Ayrıca OEB üçgeni bir dik üçgendir ve diğer iki açı eşittir (45º), yani ikizkenar üçgendir. Böylece, bu üçgenin iki ayağı H değerindedir.₂, aşağıdaki resimdeki gibi:

Böylece, AOE üçgeninin AO kenarı 4 - H'ye eşittir._2. Bu bilgilere dayanarak, aşağıdaki oranı belirtebiliriz:

Yükseklik değerini bilerek artık ABE üçgeninin alanını hesaplayabiliriz:

Böylece, AFE üçgeninin alanı şuna eşit olacaktır:

alternatif: d)

3) Cefet/MG - 2015

Aşağıdaki resim, sırasıyla 1,5 ve 2,0 m'ye eşit genişlik ve uzunluğa sahip dikdörtgen bir bilardo masasını temsil etmektedir. Bir oyuncu beyaz topu B noktasından atmalı ve siyah topa önce diğerlerine çarpmadan P noktasından vurmalıdır. Sarı olan A noktasında olduğu için bu oyuncu beyaz topu sekip siyah olanla çarpışması için L noktasına atacaktır.

Şekilde gösterildiği gibi topun geliş yolunun açısı ile zıplama açısı eşitse, bu durumda P'den Q'ya olan mesafe cm olarak yaklaşık olarak

a) 67
b) 70
c) 74
81

Yanıtı Gör

Aşağıdaki resimde kırmızı ile işaretlenmiş üçgenler, iki eşit açıya sahip olduklarından (a açısına eşit açı ve açı 90º'ye eşit) benzerdir.

Bu nedenle, aşağıdaki oranı yazabiliriz:

Alternatif: a) 67

4) Askeri Kolej/RJ - 2015

Bir ABC üçgeninde, D ve E noktaları sırasıyla AB ve AC kenarlarına aittir ve DE / / BC olacak şekildedir. F, EF / / CD ve AF ve FD e ölçümleri sırasıyla 4 ve 6 olacak şekilde AB'nin bir noktasıysa, DB segmentinin ölçümü şu şekildedir:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Yanıtı Gör

ABC üçgenini aşağıda gösterildiği gibi gösterebiliriz:

DE doğru parçası BC'ye paralel olduğundan, ADE ve ABC üçgenleri açıları eş olması bakımından benzerdir.

Daha sonra aşağıdaki oranı yazabiliriz:

FE ve DC segmentleri paralel olduğundan, FED ve DBC üçgenleri de benzerdir. Bu nedenle, aşağıdaki oran da doğrudur:

y'yi bu oranda izole edersek:

İlk eşitlikte y değerinin değiştirilmesi:

Alternatif: a) 15

5) Epcar - 2016

Dik üçgen şeklindeki bir arazi, şekilde gösterildiği gibi hipotenüsün açıortayına yapılan bir çitle iki bölüme ayrılacaktır.

Bu arazinin AB ve BC kenarlarının sırasıyla 80 m ve 100 m olduğu bilinmektedir. Böylece, bu sırayla, parti I'in çevresi ile parti II'nin çevresi arasındaki oran,

Yanıtı Gör

Çevreler arasındaki oranı bulmak için şekil I ve şekil II'nin tüm kenarlarının değerini bilmemiz gerekir.

Hipotenüsün açıortayının BC tarafını iki uyumlu parçaya böldüğüne ve dolayısıyla CM ve MB parçalarının 50 m ölçtüğüne dikkat edin.

ABC üçgeni bir dikdörtgen olduğundan, Pisagor teoremini kullanarak AC kenarını hesaplayabiliriz. Ancak, bu üçgenin bir Pisagor üçgeni olduğuna dikkat edin.

Böylece, hipotenüs 100'e (5. 20) ve bir iki bacak 80'e (4.20) eşittir, o zaman diğer bacak sadece 60'a (3.20) eşit olabilir.

Ayrıca ABC ve MBP üçgenlerinin benzer olduğunu belirledik (AA durumu), çünkü açıları ortak ve diğeri 90º'dir.

Yani x'in değerini bulmak için aşağıdaki oranı yazabiliriz:

z değeri, orantı dikkate alınarak bulunabilir:

Ayrıca şunu yaparak y'nin değerini bulabiliriz:

Artık tüm kenarları bildiğimize göre, çevreleri hesaplayabiliriz.

Şekil I'in Çevresi:

Şekil II'nin Çevresi:

Bu nedenle, çevreler arasındaki oran şuna eşit olacaktır:

alternatif: d)

6) Düşman - 2013

Bir çiftliğin sahibi, uzunluğu 6 m ve 4 m olan iki direği daha iyi sabitlemek için bir destek çubuğu koymak istiyor. Şekil, direklerin AC ve BD segmentleri ve çubuk tarafından tanımlandığı gerçek durumu temsil etmektedir. düz çizgi parçası ile gösterilen, tamamı yere dik olan EF parçası ile temsil edilir. AB. AD ve BC segmentleri, kurulacak çelik kabloları temsil eder.

EF çubuk uzunluğunun değeri ne olmalıdır?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Yanıtı Gör

Problemi çözmek için sap yüksekliğini şu şekilde adlandıralım: z ve AF ve FB segmentlerinin ölçümleri x ve y, sırasıyla aşağıda gösterildiği gibi:

ADB üçgeni, her ikisinin de 90°'ye eşit bir açıya ve ortak bir açıya sahip olması bakımından AEF üçgenine benzer, dolayısıyla AA durumunda benzerdirler.

Bu nedenle, aşağıdaki oranı yazabiliriz:

"Çapraz" ile çarparak eşitlik elde ederiz:

6x = h (x + y) (I)

Öte yandan, ACB ve FEB üçgenleri de yukarıda belirtilen nedenlerle benzer olacaktır. Yani oranımız var:

Aynı şekilde çözme:

4y = h (x + y) (II)

(I) ve (II) denklemlerinin eşittir işaretinden sonra aynı ifadeye sahip olduğuna dikkat edin, bu nedenle şunu söyleyebiliriz:

6x = 4y

İkinci denklemde x değerini yerine koyarsak:

Alternatif: c) 2,4 m

7) Füvest - 2010

Şekilde ABC üçgeni, kenarları BC = 3 ve AB = 4 olan dikdörtgendir. Ayrıca D noktası köprücük kemiğine aittir. , köprücük kemiğine ait E noktası ve F noktası hipotenüse aittir , öyle ki DECF bir paralelkenardır. Eğer , yani DECF paralelkenarının alanı

Yanıtı Gör

Paralelkenar alanı, taban değeri ile yükseklik çarpılarak bulunur. Aşağıda gösterildiği gibi h yüksekliği ve x'i taban ölçüsü olarak adlandıralım:

DECF bir paralelkenar olduğundan, kenarları ikişer ikişer paraleldir. Bu durumda AC ve DE kenarları paraleldir. yani açılar onlar aynı.

Daha sonra ABC ve DBE üçgenlerinin benzer olduğunu belirleyebiliriz (AA durumu). Ayrıca ABC üçgeninin hipotenüsünün 5'e eşit olduğunu da biliyoruz (üçgen 3,4 ve 5).

Bu şekilde aşağıdaki oranı yazalım:

Tabanın x ölçüsünü bulmak için aşağıdaki oranı dikkate alacağız:

Paralelkenar alanını hesapladığımızda:

alternatif: a)