kurduk Meslek bir veya daha fazla miktarı ilişkilendirdiğimizde. Bu matematik alanındaki gelişme sayesinde doğal olayların bir kısmı incelenebilir. Fonksiyonların incelenmesi iki kısma ayrılır, burada genel kısmı inceliyoruz. kavramlargenel, ve üzerinde çalıştığımız belirli kısım özel durumlarpolinom fonksiyonları ve üstel fonksiyonlar gibi.
Ayrıca bakınız: Bir fonksiyonun grafiği nasıl çizilir?
Fonksiyonlar nelerdir?
Bir işlev, bir uygulamadır. iki unsuru ilişkilendirir setler boş değil. Bir fonksiyonun olduğu iki boş olmayan A ve B kümesini düşünün. f ilgili olmak her biri A'dan A'ya eleman sadece bir B öğesi.
Bu tanımı daha iyi anlamak için bir taksi yolculuğu hayal edin. Her yolculuk için yani kat edilen her mesafe için farklı ve benzersiz bir fiyat vardır, yani bir yolculuğun iki farklı fiyatının olması hiçbir anlam ifade etmez.
A kümesinden B kümesine eleman alan bu fonksiyonu aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz.
A kümesinin her elemanı için bir tek ilgili eleman onunla B setinde. Şimdi, iki küme arasındaki ilişkinin ne zaman bir fonksiyon olmayacağını düşünebiliriz? A kümesinin bir öğesi B'nin iki farklı öğesiyle ilişkili olduğunda veya A kümesinin B öğeleriyle ilişkili olmayan öğeleri olduğunda. Bak:
Genel olarak, cebirsel olarak şöyle bir fonksiyon yazabiliriz:
f: A → B
x → y
İşlevin A kümesinden (x ile temsil edilir) öğeleri aldığını ve bunları B kümesinin (y ile temsil edilir) öğelerine götürdüğünü unutmayın. B kümesinin öğelerinin A kümesinin öğeleri cinsinden verildiğini de söyleyebiliriz, dolayısıyla y'yi şu şekilde temsil edebiliriz:
y = f(x)
Şunu okur: (y eşittir f x)
Bir rolün etki alanı, ortak etki alanı ve görüntüsü
Rolümüz olduğunda f, ilişkili olan kümelere özel adlar verilir. Yani bir fonksiyon düşünün f A kümesindeki öğeleri B kümesindeki öğelere alan:
f: A → B
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
İlişkilerin ayrıldığı A kümesine denir. alan adı fonksiyonun ve bu ilişkinin "oklarını" alan kümeye denir. karşı etki alanı. Bu kümeleri aşağıdaki gibi gösteririz:
Df = A → Etki alanı f
CDf = B → Karşı etki alanı f
Kümenin elemanları ile ilgili elemanların oluşturduğu bir fonksiyonun karşı etki alanının alt kümesine denir. resim fonksiyonun ve şu şekilde gösterilir:
benf → Resmi f
- Misal
Aşağıdaki şemada gösterilen f: A → B fonksiyonunu göz önünde bulundurun ve etki alanını, karşı etki alanını ve görüntüyü belirleyin.
Söylendiği gibi, A = {1, 2, 3, 4} kümesi fonksiyonun tanım kümesidir. fB = {0, 2, 3, –1} kümesi aynı fonksiyonun karşı etki alanı iken. Şimdi, {0, 2, –1} öğelerinin oluşturduğu oku (turuncu) alan öğeler tarafından oluşturulan kümenin, B karşı etki alanının bir alt kümesi olduğuna dikkat edin, bu küme işlevin görüntüsüdür. f, Böylece:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
benf = {0, 2, –1}
diyoruz ki 0 eleman resmi 1 etki alanının yanı sıra 2 bu elementlerin görüntüsü 2 ve 3 etki alanının ve –1 eleman resmi 4 etki alanı. Bu üç kavram hakkında daha fazla bilgi edinmek için şunu okuyun: Detki alanı, ortak etki alanı ve resim.
surjektif işlev
Bir işlev f: A → B, yalnızca ve ancak görüntü kümesi kontradomain ile çakışıyorsa, yani, karşı etki alanının tüm öğeleri görüntü ise.
O zaman, karşı etki alanının tüm öğeleri ok aldığında bir işlevin örtük olduğunu söylüyoruz. Bu tür bir işleve daha derine inmek istiyorsanız, metnimizi ziyaret edin: Aşırı püskürtme işlevi.
Enjektif fonksiyon
Bir işlev f: A → B, yalnızca ve ancak etki alanının farklı öğelerinin karşı etki alanında farklı görüntülere sahip olması durumunda, yani, benzer görüntüler, etki alanının benzer öğeleri tarafından oluşturulur.
Koşul, etki alanının farklı öğelerinin karşı etki alanının farklı öğeleriyle ilişkili olmasıdır, karşı etki alanında kalan öğelerle ilgili bir sorun yoktur. Bu kavramı daha iyi anlamak için metni okuyabilirsiniz: enjektör işlevi.
Bijektör işlevi
Bir işlev f: A → B, yalnızca ve yalnızca enjektör ve surjector aynı anda, yani etki alanının farklı öğelerinin farklı görüntüleri vardır ve görüntü karşı etki alanı ile çakışır.
- Misal
Her durumda, f (x) = x fonksiyonunun olup olmadığını doğrulayın.2 enjektör, surjector veya bijectordur.
) f: ℝ+ → ℝ
Fonksiyonun etki alanının tamamen pozitif gerçekler olduğuna ve karşı etki alanının tümünün gerçek sayılar olduğuna dikkat edin. f fonksiyonunun f(x) = x ile verildiğini biliyoruz.2, şimdi tüm pozitif gerçek sayıların yüksek kare, tüm görüntüler de pozitif olacaktır. Negatif gerçek sayılar okları almayacağından, fonksiyonun surjective değil enjekte edici olduğu sonucuna varabiliriz.
Etki alanının her bir öğesi olarak enjekte ediyor (ℝ+) karşı etki alanının (ℝ) yalnızca bir öğesiyle ilgilidir.
B) f: ℝ → ℝ+
Bu durumda fonksiyon, tüm gerçekler olarak etki alanına ve pozitif gerçekler olarak karşı etki alanına sahiptir. Herhangi bir gerçek sayının karesinin pozitif olduğunu biliyoruz, bu nedenle karşı etki alanının tüm öğeleri oklar almıştır, bu nedenle işlev örtüktür. Etki alanı öğeleri iki karşı etki alanı öğesiyle ilgili olduğu için enjekte edilmeyecektir, örneğin:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
Bu örnekte, işlevin pozitif gerçek sayılar olarak etki alanı ve karşı etki alanı vardır, bu nedenle işlev bijektör çünkü her pozitif gerçek sayı tek bir gerçek Numara karşı etki alanının pozitifi, bu durumda sayının karesi. Ayrıca tüm karşı alan numaralarına oklar verildi.
bileşik fonksiyon
bu bileşik fonksiyon ile ilişkilidir kısayol fikri. Boş olmayan A, B ve C kümelerini ele alalım. Ayrıca, f fonksiyonunun A kümesinden x öğelerini B kümesinden y = f (x) öğelerine ve g işlevinin y = f (x) öğelerini C kümesinden z öğelerine aldığı iki f ve g işlevini göz önünde bulundurun.
Bileşik işlev, f ve g işlevlerinin bileşimi yoluyla B kümesinden geçmeden A kümesindeki öğeleri doğrudan C kümesindeki öğelere alan bir uygulama olduğu için bu adı alır. Bak:
(f o g) ile gösterilen fonksiyon A kümesindeki elemanları doğrudan C kümesine alır. Bileşik fonksiyon denir.
- Misal
f(x) = x fonksiyonunu düşünün2 ve g (x) = x + 1 fonksiyonu. (f o g)(x) ve (g of f)(x) bileşik fonksiyonlarını bulun.
f o g işlevi, f'ye uygulanan g işlevi tarafından verilir, yani:
(f o g)(x) = f(g(x))
Bu bileşik işlevi belirlemek için, işlevi dikkate almalıyız. f, ve x değişkeninin yerine işlevi yazmalıyız g. Bak:
x2
(x+1)2
(f o g)(x) = f (g(x)) = x2 + 2x + 1
Benzer şekilde, (g of f)(x) bileşik fonksiyonunu belirlemek için, fonksiyonu uygulamamız gerekir. f rolde g, yani g fonksiyonunu düşünün ve değişkenin yerine f fonksiyonunu yazın. Bak:
(x + 1)
x2 + 1
Bu nedenle, bileşik fonksiyon (g o f)(x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Eşit işlev
Bir fonksiyon düşünün f: A → ℝ, burada A, boş olmayan gerçeklerin bir alt kümesidir. Bir f fonksiyonu yalnızca tüm gerçek x için çift olacaktır.
Misal
işlevi düşünün f: ℝ → ℝ, f (x) = x ile verilir2.
Herhangi bir gerçek x değerinin karesi alınırsa sonucun her zaman pozitif olduğuna dikkat edin, yani:
f(x) = x2
ve
f(–x) = (–x)2 = x2
Yani herhangi bir gerçek x değeri için f(x) = f(–x), yani fonksiyon f bu çift.
Siz de okuyun:Güç özellikleris - bunlar nedir ve nasıl de kullanmakhava?
benzersiz işlev
Bir fonksiyon düşünün f: A → ℝ, burada A, boş olmayan gerçeklerin bir alt kümesidir. Bir f işlevi yalnızca tüm gerçek x için tek olacaktır.
- Misal
işlevi düşünün f: ℝ → ℝ, f (x) = x ile verilir3.
Bakın, herhangi bir x değeri için şunu yazabiliriz (–x)3 = -x3. Bazı örneklere göz atın:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Yani şunu söyleyebiliriz:
f(–x) = (–x)3 = –x3
f(–x) = (–x)3 = –f(x)
Yani herhangi bir gerçek x için f(–x) = –f (x) ve dolayısıyla f (x) = x fonksiyonu3 benzersiz.
artan fonksiyon
Bir işlev f é büyüyen belirli bir aralıkta, ancak ve ancak etki alanı öğeleri büyüdükçe görüntüleri de büyürse. Bak:
x'e dikkat edin1 > x2 ve aynısı görüntü için de olur, böylece fonksiyon için cebirsel bir koşul oluşturabiliriz. f olmak büyüyen.
Azalan fonksiyon
Bir işlev f é azalan belirli bir aralıkta, ancak ve ancak etki alanı öğeleri büyüdükçe görüntüleri azalırsa. Bak:
Bakın, fonksiyon alanında x var1 > x2, ancak bu fonksiyon görüntüsünde oluşmaz, burada f (x1) < f(x2). Böylece azalan fonksiyonlar için cebirsel bir koşul oluşturabiliriz. Bak:
sabit fonksiyon
Adından da anlaşılacağı gibi, bir fonksiyon sabit ne zaman, herhangi bir değer için etki alanı, görüntünün değeri her zaman aynıdır.
ilgili işlev
bu afin fonksiyonu veya birinci dereceden polinom şeklinde yazılır:
f (x) = balta + b
a ve b gerçek sayılar olduğunda, a sıfır değildir ve grafiğiniz bir çizgidir. Fonksiyonun gerçek etki alanı ve ayrıca gerçek karşı etki alanı vardır.
ikinci dereceden fonksiyon
bu ikinci dereceden fonksiyon veya ikinci derecenin polinom fonksiyonu ile verilir bir polinom ikinci sınıf, Böylece:
f(x) = eksen2 + bx + c
a, b ve c sıfır olmayan gerçek sayılar ve grafiğiniz bir benzetme. Rol ayrıca gerçek etki alanına ve karşı etki alanına sahiptir.
modüler fonksiyon
bu modüler fonksiyon ile değişken x bulur-Eğer modülün içinde ve cebirsel olarak şu şekilde ifade edilir:
f(x) = |x|
Fonksiyonun ayrıca gerçek alanı ve sayaç alanı vardır, yani herhangi bir gerçek sayının mutlak değerini hesaplayabiliriz.
üstel fonksiyon
bu üstel fonksiyonx değişkenini üssünde görüntüler. Ayrıca gerçek etki alanına ve gerçek karşı etki alanına sahiptir ve cebirsel olarak şu şekilde tanımlanır:
f(x) = birx
Burada a sıfırdan büyük bir gerçek sayıdır.
logaritmik fonksiyon
bu logaritmik fonksiyon var logaritmada değişken ve sıfırdan büyük gerçek sayılardan oluşan alan.
Trigonometrik fonksiyonlar
at trigonometrik fonksiyonlar sahip olmak trigonometrik oranları içeren x değişkeni, başlıcaları şunlardır:
f(x) = günah(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
kök işlevi
Kök işlevi, sahip olmasıyla karakterize edilir. kök içindeki değişken, bununla, kökün indeksi çift ise, fonksiyonun tanım kümesi sadece pozitif gerçek sayılar olur.
Robson Luiz tarafından
Matematik öğretmeni
Metalurji endüstrisinde, bir otomotiv parçasının üretim maliyeti, aylık 5 R$ sabit maliyete karşılık gelir. 000,00 artı üretilen birim başına 55,00 R$'lık değişken maliyet artı maliyet üzerinden %25 vergi değişken. Bu parçanın sektör tarafından tüccarlara satış fiyatının 102,00 R$ olduğunu göz önünde bulundurarak şunları belirleyin:
a) x adet üretmenin maliyet fonksiyonu.
b) x adet satışına atıfta bulunan gelir fonksiyonu.
c) x adetin satışından elde edilen kar fonksiyonu.
BMI (Beden Kitle İndeksi), yetişkin bir kişinin şişman, obez, obez olup olmadığını belirleyen matematiksel bir fonksiyondur. normal veya zayıf, kişinin kilogram cinsinden kütlesini, boyun ölçümünün karesiyle ilişkilendirir. metre. Aşağıdaki tabloya göre 1.90 metre boyundaki bir kişinin vücut kitle indeksi normal kabul edilecek şekilde kütlesini belirleyiniz.
