hakkında çalışma sayısal kümeler Alanın teorik gelişimi için çok önemli oldukları ve birçok pratik uygulamaya sahip oldukları için matematiğin ana alanlarından birini oluşturmaktadır. Sayısal kümeler çalışırken şunları içerir:
- doğal sayılar;
- tamsayılar;
- rasyonel sayılar;
- irrasyonel sayılar;
- gerçek sayılar; ve
- Karışık sayılar.
devamını oku: Asal sayılar - bölenleri sadece 1 ve kendileri olan sayılar
Doğal sayılar kümesi
İlk uygarlıkların gelişmesi, tarım ve ticaretin gelişmesini beraberinde getirmiş ve dolayısıyla miktarları temsil etmek için sayıları kullanma. İlk set doğal olarak geldi, dolayısıyla adı. Doğal adlandırılmış küme, miktarları temsil etmek için kullanılır; sembol ℕ ve sıra şeklinde yazılır. Bak:
Ö sayılar kümesi doğaldır-dir é işlemleri için sonsuz ve kapalı ilave ve çarpmayani iki doğal sayıyı topladığımızda veya çarptığımızda cevap yine de doğaldır. Ancak çıkarma işlemi için bölünme, küme kapalı değildir. Bak:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Rakamlara dikkat edin –1 ve 0,5 bunlar doğal kümeye ait değildir ve bu, yeni sayı kümelerinin yaratılması ve incelenmesi için gerekçedir.
Ayrıca, doğal kümenin sembolüne yıldız işareti (*) koyarak, sıfır sayısını listeden çıkarmalıyız, bakınız:
tam sayılar kümesi
Tam sayı seti ile geldi işlemlerini yürütmek gerekir çıkarma kısıtlama yok. Gördüğümüz gibi, daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayı çıkarıldığında, cevap doğallar grubuna ait değildir.
Tamsayılar kümesi de sonsuz bir sayısal diziyle temsil edilir ve şu şekilde gösterilir: sembol ℤ.
Doğal sayılar kümesinde olduğu gibi, ℤ sembolüne bir yıldız işareti koyarak, sıfır elemanı kümeden şu şekilde çıkarılır:
Bir sayıya eşlik eden (-) sembolü onun simetrik olduğunu gösterir, dolayısıyla 4 sayısının simetrisi –4 sayısıdır. Ayrıca, doğal sayılar kümesinin tam sayılar kümesinde yer aldığına, yani doğal sayılar kümesinin tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olduğuna dikkat edin.
ℕ ⸦ ℤ
Siz de okuyun: Tamsayılarla işlemler - bunlar nelerdir ve nasıl hesaplanır?
rasyonel sayılar kümesi
Ö rasyonel sayılar kümesi é ℚ sembolü ile temsil edilir ve sayısal bir dizi ile temsil edilmez. Bu küme, kesir olarak gösterilebilen tüm sayılardan oluşur. Öğelerini aşağıdaki gibi temsil ediyoruz:
Her tam sayının bir ile temsil edilebileceğini biliyoruz. kesiryani tam sayılar kümesi rasyonel sayılar kümesinde bulunur, yani, tamsayılar kümesi rasyonellerin bir alt kümesidir.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Sonsuz temsili olan sayılar, örneğin periyodik ondalık, ayrıca bir kesir şeklinde temsilleri vardır, bu nedenle aynı zamanda rasyoneldirler.
Siz de okuyun: Kesirli işlemler - adım adım nasıl çözülür
İrrasyonel sayılar kümesi
Gördüğümüz gibi, bir sayı kesir olarak yazılabilirse rasyoneldir. Sonsuz ve periyodik sayıların rasyonel olduğu da söylenmiştir, ancak bazı sayılar vardır. kesir şeklinde yazılamaz ve bu nedenle rasyonel sayılar kümesine ait değildir.
Bu rasyonel olmayan sayılara denir. mantıksız ve başlıca özellikleri, ondalık kısmın sonsuzluğu ve frekanssızlık, yani ondalık kısımdaki hiçbir sayı tekrarlanmaz. Bazı örneklere bakın irrasyonel sayılar.
- örnek 1
Tam kare olmayan sayıların karekökleri.
- Örnek 2
Altın numarası, Euler numarası veya Pi gibi özel nedenlerden gelen sabitler.
Gerçek sayılar kümesi
Ö gerçek sayılar kümesi ℝ sembolü ile gösterilir ve birlikrasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin toplamı. Rasyoneller kümesinin doğal ve tamsayı kümelerinin birleşimi olduğunu unutmayın.
Gerçek sayıları bir doğru üzerinde düzenlediğimizde, sıfırın doğrunun orijini olduğunu, sıfırın sağında pozitif sayıların ve solunda negatif sayıların olduğunu görüyoruz.
Bu eksen gerçek olduğuna göre, iki sayı arasında sonsuz sayı olduğunu ve bu eksenin her iki durumda da sonsuz olduğunu söyleyebiliriz. pozitif yön ne zaman negatif yön.
Karmaşık sayılar kümesi
Ö karmaşık sayı kümesi bu son ve tamsayılar kümesiyle aynı nedenle ortaya çıktı, yani yalnızca gerçekler kümesiyle gelişmesi mümkün olmayan bir işlemdir.
Aşağıdaki denklemi çözerek, sadece gerçek sayıları bilerek çözümü olmadığını görün.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Bir sayı bulmamız gerektiğine dikkat edin. yükseltmekdÖ kare, negatif bir sayı ile sonuçlanır. Biz biliyoruz ki herhangi bir sayının karesi her zaman pozitiftir, bu nedenle, bu hesaplamanın gerçek bir çözümü yoktur.
Böylece, içinde bir aya sahip olduğumuz karmaşık sayılar yaratıldı. hayali numara ile gösterilir ben, aşağıdaki değere sahip olan:
Yani, şunu anlayın ki denklem daha önce hiçbir çözümü olmayan şimdi var. Ödeme:
devamını oku: Karmaşık sayıları içeren özellikler
gerçek aralıklar
Bazı durumlarda, her gerçek ekseni kullanmayacağız, yani onun olarak adlandırılacak kısımlarını kullanacağız. ara vermek. Bu aralıklar reel sayılar kümesinin alt kümeleri. Daha sonra, bu alt kümeler için bazı gösterimler oluşturacağız.
Kapalı aralık - aşırı uçları dahil etmeden
Bir aralık kapatıldığında iki ucu vardır, yani minimum ve maksimum ve bu durumda aşırı uçlar aralığına ait değildir. Bunu açık bir top kullanarak göstereceğiz. Bak:
Kırmızı, bu aralığa ait sayılardır, yani bunlar sayılardır. a'dan büyük ve b'den küçük. Cebirsel olarak böyle bir aralığı aşağıdaki gibi yazarız:
< x
Burada x sayısı, bu aralıktaki tüm gerçek sayılardır. Sembolik olarak da temsil edebiliriz. Bak:
]Bu; B[ veya (Bu; B)
Kapalı aralık - aşırı uçlar dahil
Şimdi bunu temsil etmek için kapalı topları kullanalım. uçlar aralığa aittir.
Yani a ve b arasındaki gerçek sayıları, onlar da dahil olmak üzere topluyoruz. Cebirsel olarak böyle bir aralığı şu şekilde ifade ederiz:
≤ xb
Sembolik gösterimi kullanarak şunları elde ederiz:
[Bu; B]
Kapalı menzil - aşırı uçlardan biri dahil
Hala kapalı aralıklarla uğraşırken, şimdi elimizde aşırı uçlardan sadece biri dahildir. Bu nedenle, bilyelerden biri, sayının aralığa ait olduğunu, diğeri ise sayının o aralığa ait olmadığını belirterek kapanacaktır.
Cebirsel olarak bu aralığı aşağıdaki gibi temsil ediyoruz:
≤ x
Sembolik olarak elimizde:
[Bu; B[ veya [Bu; B)
Açık aralık - uç dahil değil
Bir aralık açıldığında maksimum veya minimum öğeye sahip değil. Şimdi, aralığa dahil olmayan, yalnızca maksimum öğeye sahip bir açık aralık durumu göreceğiz.
Aralığın şunlardan oluştuğunu görün gerçek sayılar daha küçükB, ve şunu da not edin b sayısı aralığa ait değil (açık top), yani cebirsel olarak aralığı şu şekilde temsil edebiliriz:
x
Sembolik olarak şu şekilde temsil edebiliriz:
] – ∞; B[ veya (– ∞; B)
Açık menzil - aşırı dahil
Açık aralığa başka bir örnek, uç noktanın dahil edildiği durumdur. Burada minimum öğenin göründüğü bir aralığımız var, bakınız:
Tüm gerçek sayıların a sayısından büyük veya ona eşit olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu aralığı cebirsel olarak şu şekilde yazabiliriz:
xiçin
Sembolik olarak elimizde:
[Bu; +∞[ veya [Bu; +∞)
açık menzil
Başka bir açık aralık durumu şu şekilde oluşturulur: gerçek hatta sabitlenen sayılardan daha büyük ve daha küçük sayılar. Bak:
Bu aralığa ait olan gerçek sayıların a sayısından küçük veya ona eşit veya b sayısından büyük sayılar olduğuna dikkat edin, bu nedenle şunları yapmalıyız:
x için veyax > b
Sembolik olarak elimizde:
] – ∞; a] U ] b; + ∞[
veya
(– ∞; a] U(b; + ∞)
Robson Luiz tarafından
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
