Bir denklem eşitliği ve en az bir bilinmeyeni olan, yani bir cebirsel ifade ve eşitlik. Denklemlerin incelenmesi, örneğin denklemlerin incelenmesi gibi ön bilgi gerektirir. sayısal ifadeler. Bir denklemin amacı bilinmeyen değeri bul eşitliği bir kimliğe, yani gerçek bir eşitliğe dönüştüren.
Siz de okuyun:Kesirli işlemler – nasıl hesaplanır?
Denklem Çalışması için Temel Kavramlar
Denklem, matematiksel bir cümledir. Bilinmeyenen azından ve bir eşitlik, ve onu bilinmeyen sayısına göre sıralayabiliriz. Bazı örneklere bakın:
a) 5t – 9 = 16
Denklem, harfle temsil edilen bir bilinmeyene sahiptir. t.
b) 5x + 6y = 1
Denklemin harflerle temsil edilen iki bilinmeyeni var x ve y.
c) t4 – 8z = x
Denklemin harflerle temsil edilen üç bilinmeyeni vardır. Tamam mı,z ve x.
Denklem ne olursa olsun, sizin evren seti,bilinmeyene atayabileceğimiz tüm olası değerlerden oluşur, bu küme harfle temsil edilir sen.
örnek 1
x + 1 = 0 denklemini ve olası çözümünü x = –1 düşünün. Şimdi denklemin evren kümesinin doğal.
Elemanları bilinmeyenin alabileceği tüm olası değerler olduğundan, varsayılan çözümün evren kümesine ait olmadığına dikkat edin, bu nedenle x = –1 denklemin çözümü değildir.
Tabii ki, bilinmeyenlerin sayısı ne kadar fazlaysa, çözümünüzü belirlemek o kadar zor olur. bu çözüm veya kaynak denklemin bilinmeyene atandığında eşitliği doğru yapan tüm değerlerin kümesidir.
Örnek 2
5x – 9 = 16 bilinmeyenli denklemi düşünün, x = 5'in denklemin çözümü veya kökü olduğunu doğrulayın.
Yani bunu söylemek mümkün x = 5 denklemin çözümü ise bu değeri ifadede yerine koymalıyız, eğer gerçek bir eşitlik bulursak sayı test edilen çözüm olacaktır.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Bulunan eşitliğin doğru olduğunu görün, yani bir kimliğimiz var ve 5 sayısı çözüm. Çözüm kümesinin şu şekilde verildiğini söyleyebiliriz:
S = {5}
Örnek 3
t denklemini düşünün2 = 4 ve t = 2 veya t = –2'nin denklemin çözümleri olup olmadığını kontrol edin.
Benzer şekilde denklemde t değerini yerine koymalıyız, ancak bilinmeyen için iki değerimiz olduğunu ve bu nedenle doğrulamayı iki adımda gerçekleştirmemiz gerektiğini unutmayın.
Aşama 1 – t = 2 için
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Adım 2 – t = –2 için
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
t = 2 ve t = – 2 için bir özdeşlik buluyoruz, yani bu iki değer denklemin çözümleri. Buna göre çözüm kümesinin şu şekilde olduğunu söyleyebiliriz:
S = {2, –2}
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
Denklem Türleri
Bilinmeyenlerin işgal ettiği konuma göre bir denklemi de sınıflandırabiliriz. Ana türlere bakın:
Polinom Denklemleri
at polinom denklemleri sıfıra eşit bir polinom ile karakterize edilir. Bazı örneklere bakın:
) 6t3+ 5t2–5t = 0
Sayılar6, 5 ve –5 denklemin katsayılarıdır.
B) 9x – 9= 0
Sayılar 9 ve – 9 denklemin katsayılarıdır.
c) y2– y – 1 = 0
Sayılar 1, – 1 ve – 1 denklemin katsayılarıdır.
denklem dereceleri
Polinom denklemleri derecelerine göre sınıflandırılabilir. yanı sıra polinomlar, bir polinom denkleminin derecesi şu şekilde verilir: sıfır olmayan bir katsayıya sahip en yüksek güç.
Önceki a, b ve c örneklerinden denklemlerin dereceleri şöyledir:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polinom Denklemi üçüncü derece
b) 9x – 9 = 0 → Polinom Denklemi Birinci derece
ç) y2 – y – 1 = 0 → Polinom Denklemi lise
sen de oku: ikinci dereceden denklemu: nasıl hesaplanır, türleri, örnekleri
rasyonel denklemler
Rasyonel denklemler, sahip oldukları paydasında bilinmeyenler kesir. Bazı örneklere bakın:
sen de oku: Rasyonel sayılar nelerdir?
irrasyonel denklemler
at irrasyonel denklemler sahip olmaları ile karakterize edilirler. n. kök içindeki bilinmeyenler, yani n indeksine sahip bir radikalin içinde. Bazı örneklere bakın:
üstel denklemler
at üstel denklemler sahip olmak Üs'te bulunan bilinmeyenler bir güç. Bazı örneklere bakın:
logaritmik denklem
at logaritmik denklemler sahip olmakla karakterize edilir bir bölümünde bir veya daha fazla bilinmeyen logaritma. Logaritmanın tanımını uygularken, denklemin önceki bazı durumlarda düştüğünü göreceğiz. Bazı örneklere bakın:
Ayrıca bakınız: Bilinmeyen ile birinci dereceden denklem
Bir denklem nasıl çözülür?
Bir denklemi çözmek için, her tipte kullanılan yöntemleryani her denklem türü için olası kökleri belirlemek için farklı bir yöntem vardır. Ancak tüm bu yöntemler denklik ilkesinden türetilen, onunla ana denklem türlerini çözmek mümkündür.
denklik ilkesi
Eşdeğerliğin ikinci ilkesi, eşitliğin diğer tarafında aynı şeyi yaptığımız sürece eşitliğin bir tarafında özgürce çalışabiliriz. Anlamayı geliştirmek için bu tarafları adlandıracağız.
Bu nedenle, eşdeğerlik ilkesi mümkün olduğunu belirtir. ilk uzuv üzerinde çalışmak sürece özgürce aynı işlem ikinci üye üzerinde yapılır.
Eşdeğerlik ilkesini doğrulamak için aşağıdaki eşitliği göz önünde bulundurun:
5 = 5
Hadi şimdi gidelim eklemek her iki tarafta da 7 sayısı ve eşitliğin hala geçerli olacağını unutmayın:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Hadi şimdi gidelim çıkarmak 10 eşitliğin her iki tarafında, eşitliğin yine de doğru olacağını tekrar not edin:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
yapabileceğimizi görmek çarpmak veya Paylaş ve a'ya yükseltmek güç hatta bir ayıklayın kaynak, birinci ve ikinci üye üzerinde yapıldığı sürece eşitlik her zaman geçerli olacaktır.
Bir denklemi çözmek için bu prensibi, bahsedilen işlemler bilgisi ile birlikte kullanmalıyız. Denklemlerin geliştirilmesini kolaylaştırmak için ilk üye üzerinde yapılan işlemi atlayalım, bu, sayıyı diğer üyeye ilettiğimizi, işareti tersiyle değiştirdiğimizi söylemekle eşdeğerdir.
Bir denklemin çözümünü belirleme fikri her zaman denklik ilkesini kullanarak bilinmeyeni yalıtmak, Bak:
Örnek 4
Evren kümesinin U = ℝ ile verildiğini bilerek 2x – 4 = 8 denkleminin çözüm kümesini denklik ilkesini kullanarak belirleyiniz.
2x - 4 = 8
Birinci dereceden bir polinom denklemini çözmek için, ilk üyedeki bilinmeyeni izole bırakmalıyız. Bunun için ilk üyeden –4 + 4 = 0 olduğundan her iki tarafa da 4 ekleyerek –4 sayısını alacağız.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Bu işlemi gerçekleştirmenin, 4 rakamını ters işaretle geçmekle eşdeğer olduğunu unutmayın. Bilinmeyen x'i yalnız bırakmak için, x'i çarptığı için 2 sayısını ikinci üyeye geçirelim. (Unutmayın: çarpmanın ters işlemi bölmedir). Her iki tarafı da 2'ye bölmekle aynı şey olurdu.
Bu nedenle, çözüm kümesi şu şekilde verilir:
S = {6}
Örnek 5
2. denklemi çözx+5 = 128 evren kümesinin U = ℝ ile verildiğini bilmek.
Üstel denklemi çözmek için önce aşağıdakini kullanalım güçlendirme özelliği:
m + n =m · birHayır
2 olduğu gerçeğini de kullanacağız.2 = 4 ve 25 = 32.
2x+5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Her iki tarafı da 32'ye bölmenin, yani 32 sayısını bölerek ikinci üyeye geçirmenin mümkün olduğunu unutmayın.
Bu yüzden şunları yapmalıyız:
2x = 4
2x = 22
Eşitliği sağlayan tek x değeri 2 sayısıdır, dolayısıyla x = 2 ve çözüm kümesi şu şekilde verilir:
S = {2}
çözülmüş alıştırmalar
soru 1 – U = ℕ kümesini göz önünde bulundurun ve aşağıdaki irrasyonel denklemin çözümünü belirleyin:
çözüm
Bu denklemi çözmek için, ilk üyenin kökünü ortadan kaldırmakla ilgilenmeliyiz. Bunun için ilk üyeyi kök ile aynı dizine, yani kübe yükseltmek gerektiğini unutmayın. Denklik ilkesine göre, eşitliğin ikinci üyesini de yükseltmeliyiz.
Şimdi ikinci dereceden bir polinom denklemini çözmemiz gerektiğine dikkat edin. Bilinmeyen x'i yalnız bırakmak için 11 sayısını ikinci üyeye geçirelim (eşitliğin her iki tarafında 11 çıkaralım).
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Şimdi x'in değerini belirlemek için eşitliği sağlayan iki değer olduğuna bakın, x' = 4 veya x'' = –4, bir Zamanlar:
42 = 16
ve
(–4)2 = 16
Ancak, verilen evren kümesinin doğal sayılar kümesi olduğu ve -4 sayısının ona ait olmadığı soru ifadesinde dikkat edin, bu nedenle çözüm kümesi şu şekilde verilir:
S = {4}
soru 2 – x polinom denklemini düşünün2 + 1 = 0 evren kümesinin U = ℝ ile verildiğini bilmek.
çözüm
Eşdeğerlik ilkesi için her iki üyeden 1 çıkarın.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Evren kümesi gerçek sayılar, yani tüm sayılar olduğu için eşitliğin bir çözümü olmadığına dikkat edin. bilinmeyenin varsayabileceği değerler gerçektir ve karesi alındığında gerçek bir sayı yoktur. olumsuz.
12 = 1
ve
(–1)2 = 1
Dolayısıyla denklemin gerçeller kümesinde çözümü yoktur ve dolayısıyla çözüm kümesinin boş olduğunu söyleyebiliriz.
S = {}
Robson Luiz tarafından
Matematik öğretmeni
(Enem 2009) 50 kişilik bir grup, aralarında eşit paylara bölünecek bir parti düzenlemek için bir başlangıç bütçesi yaptı. Sonunda, tüm masrafları karşılamak için 510,00 R$'ın eksik olduğu ve gruba 5 yeni kişinin katıldığı tespit edildi. Anlaşmada toplam giderin 55 kişiye eşit olarak bölünmesine karar verildi. Henüz katkıda bulunmamış olanlar paylarını ödeyecek ve ilk gruptaki 50 kişiden her birinin ek olarak 7.00 R$ katkıda bulunması gerekecekti.
Bu bilgilere göre, 55 kişiden her biri için nihai sözleşmede hesaplanan kotanın değeri ne kadardı?
(Vunesp – 2011) Annesi ikiz doğurduğunda Pedrinho dört yaşındaydı. Bugün üç kardeşin yaşları toplamı 52'dir. Pedrinho'nun bugünkü yaşı:
