Polinom Ayrışma Teoremi

Cebirin temel teoremi polinom denklemleri garanti eder "her derece polinomu n≥ 1 en az bir karmaşık kökü vardır". Bu teoremin kanıtı matematikçi Friedrich Gauss tarafından 1799'da yapıldı. Ondan, gösterebiliriz polinom ayrıştırma teoremi, herhangi bir polinomun birinci dereceden faktörlere ayrıştırılabileceğini garanti eder. Aşağıdaki polinomu alın p(x) dereceli n ≥ 1 veHayır ≠ 0:

p(x) = birHayır xHayır +n-1 xn-1 + … +1x1 +0

Cebirin temel teoremi ile bu polinomun en az bir karmaşık kökü olduğunu söyleyebiliriz. sen1, öyle ki p(u1) = 0. Ö D'Alembert teoremi için polinomların bölünmesi eğer p(u1) = 0, sonra p(x) bölünebilir (x - u1), bir bölüm ile sonuçlanır ne1(x)bir derece polinomu olan (n - 1), bu da bizi şunu söylemeye götürür:

p (x) = (x - u1). ne1(x)

Bu denklemden iki olasılığı vurgulamak gerekir:

u = 1 ise ve ne1(x) bir derece polinomudur (n - 1), sonra ne1(x) derecesi var 0. baskın katsayısı olarak p(x) é Hayır, ne1(x) tipinin sabit bir polinomudur ne1(x)=Hayır. Böylece sahibiz:

p (x) = (x - u1). ne1(x)
(x) = (x - u1).Hayır
p(x) = birHayır . (x - u1)

Ama eğer sen ≥ 2, daha sonra polinom ne1 derecesi var n - 1 ≥ 1 ve cebirin temel teoremi tutar. polinomu diyebiliriz ne1 en az bir kökü var Hayır2, bu da bizi şunu söylemeye itiyor ne1 şu şekilde yazılabilir:

ne1(x) = (x - u2). ne2(x)

Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)

Ama nasıl p (x) = (x - u1). ne1(x), şu şekilde yeniden yazabiliriz:

p (x) = (x - u1). (x - u2). ne2(x)

Bu işlemi art arda tekrarlayarak, sahip olacağız:

p(x) = birHayır. (x - u1). (x - u2) … (x – uHayır)

Böylece, her polinom veya polinom denkleminin p(x) = 0 dereceli n≥ 1 tam olarak sahip olmak Hayır karmaşık kökler

Misal: ol p(x) derece polinomu 5öyle ki kökleri – 1, 2, 3, – 2 ve 4. Bu polinomu 1. dereceden çarpanlarına ayırarak yazınız. baskın katsayı eşittir 1. Genişletilmiş biçimde yazılmalıdır:

Eğer – 1, 2, 3, – 2 ve 4 polinomun kökleridir, bu nedenle farklılıklarının ürünü x bu köklerin her biri için p(x):

p(x) = birHayır.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)

baskın katsayı ise Hayır = 1, sahibiz:

p (x) = 1.(x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x + 1).(x – 2).(x – 3).(x + 2).(x – 4)
p (x) = (x² - x - 2).(x - 3).(x + 2).(x - 4)
p (x) = (x³ – 4x² + x + 6).(x + 2).(x – 4)
p(x) = (x4 – 2x³ – 7x² + 8x + 12) (x – 4)
p(x) = x5 – 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48

Amanda Gonçalves tarafından
Matematik mezunu

Bu metne bir okulda veya akademik bir çalışmada atıfta bulunmak ister misiniz? Bak:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Bir polinomun ayrışma teoremi"; Brezilya Okulu. Uygun: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm. 28 Haziran 2021'de erişildi.

Polinom

Polinom denkleminin tanımını öğrenin, bir polinom fonksiyonunu tanımlayın, bir polinomun sayısal değerini, polinomun kökü veya sıfırını, Bir polinomun derecesi.

Giriş sınavlarında matrislerin uygulanması. matrislerin uygulanması

Giriş sınavlarında matrislerin uygulanması. matrislerin uygulanması

Çok tartışılan bir gerçek, giriş sınavlarında matris ve determinant kavramlarının kullanılmasıdır...

read more
Lineer Sistemler Arasında Denklik

Lineer Sistemler Arasında Denklik

Aynı çözüm kümesine sahip olduklarında iki lineer sistemin eşdeğer olduğunu söylüyoruz. İki siste...

read more
Lise İşlevlerini İçeren Sorunlar

Lise İşlevlerini İçeren Sorunlar

2. derecenin işlevleri Matematikte çeşitli uygulamalara sahiptir ve Kinematik ve Dinamik alanında...

read more