Aritmetik ilerleme: nedir, terimler, örnekler

bu aritmetik ilerleme (AP) dır-dir sayısal dizi matematikteki belirli fenomenlerin davranışını tanımlamak için kullandığımız. Bir PA'da, büyüme veya bozulma her zaman sabittir, yani bir terimden diğerine fark her zaman aynı olacaktır ve bu fark akıl olarak bilinir.

sonucunda bir ilerlemenin öngörülebilir davranışıolarak bilinen bir formülden tanımlayabilirsiniz. Genel ifade. Aynı nedenle, bir PA'nın terimlerinin toplamını belirli bir formül kullanarak hesaplamak da mümkündür.

Siz de okuyun: Geometrik ilerleme - nasıl hesaplanır?

PA nedir?

Bir PA'nın bir terimler dizisi olduğunu anlamak, bir terim ile önceki terim arasındaki fark her zaman sabittir, bu ilerlemeyi bir formülden tanımlamak için ilk terimi bulmamız gerekir veya yani, bir ilerlemenin ilk terimi ve bunun nedeni, yani bu sürekli farktır. terimler.

Genel olarak, PA şu şekilde yazılır:

(1, bir2,3, bir4,5, bir6,7, bir8)

İlk terim a1 ve, ondan, Ekle nedeni r, ardıl terimlerini bulalım.

1 + r = bir2
2 + r = bir3
3 + r = bir4

...

Bu nedenle, aritmetik ilerlemeyi yazmak için, ilk teriminin kim olduğunu ve nedenini bilmemiz gerekir.

Misal:

İlk teriminin 4 ve oranının 2 olduğunu bilerek bir AP'nin ilk altı terimini yazalım. bilmek1 =4 ve r = 2, bu ilerlemenin 4'te başladığı ve 2'den 2'ye arttığı sonucuna varıyoruz. Bu nedenle, terimlerini tanımlayabiliriz.

1 = 4

2 = 4+ 2 = 6

3 = 6 + 2 = 8

4 = 8 + 2 = 10

5= 10 + 2 = 12

6 = 12 + 2 =14

Bu BP eşittir (4,6,8,10,12,14 …).

Bir PA'nın genel terimi

PA'yı bir formülden tanımlamak, onun terimlerinden herhangi birini bulmamızı kolaylaştırır. Bir AP'nin herhangi bir terimini bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Hayır= bir1 + r·(n-1)


N→ terimin konumudur;

1→ birinci terimdir;

r → sebep.

Misal:

Bul onu PA'nın genel süresi (1,5,9,13,…) ve 5, 10 ve 23. dönem.

1. adım: nedenini bul.

Oranı bulmak için ardışık iki terim arasındaki farkı hesaplamanız yeterlidir: 5 – 1 = 4; o zaman, bu durumda, r = 4 .

2. adım: genel terimi bulunuz.

olduğunu nereden biliyoruz?1= 1 ve r = 4, formülde yerine koyalım.

Hayır= bir1 + r (n - 1)

Hayır=1 + 4 (n - 1)

Hayır=1 + 4n - 4

Hayır= 4n – 3 → PA'nın genel terimi

3. adım: Genel terimi bilerek, 5., 10. ve 23. terimleri hesaplayalım.

5. terim → n = 5
Hayır=4n - 3
5=4·5 – 3
5=20 – 3
5=17

10. terim → n = 10
Hayır=4n - 3
10=4·10 – 3
10=40 – 3
10=37

23. terim → n = 23
Hayır=4n - 3
23=4·23 – 3
23=92 – 3
23=89

Aritmetik İlerleme Türleri

Bir PA için üç olasılık vardır. Artan, azalan veya sabit olabilir.

  • büyüyen

Adından da anlaşılacağı gibi, aritmetik bir ilerleme şu durumlarda artmaktadır: terimler arttıkça değerleri de artar., yani ikinci terim birinciden daha büyüktür, üçüncü terim ikinciden daha büyüktür vb.

1 < için2 < için3 < için4 < …. Hayır

Bunun olması için oranın pozitif olması gerekir, yani r > 0 ise bir PA artıyor.

Örnekler:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

  • Azalan

Adından da anlaşılacağı gibi, aritmetik bir ilerleme, şu durumlarda azalıyor: terimler arttıkça değerleri azalır, yani ikinci terim birinciden daha küçüktür, üçüncü terim ikinciden küçüktür vb.

1 >2 >3 >4 > …. >Hayır

Bunun olması için oranın negatif olması gerekir, yani r < 0 ise bir PA artıyor.

Örnekler:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

  • sabit

Bir aritmetik ilerleme şu durumlarda sabittir: terimler arttıkça, değer aynı kalır., yani ilk terim ikinciye eşittir, bu üçüncüye eşittir vb.

1 =2 =3 =4 = …. = birHayır

Bir PA'nın sabit olması için oranın sıfıra, yani r = 0'a eşit olması gerekir.

Örnekler:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

Ayrıca bakınız: Bir PG terimlerinin çarpımı - formül nedir?

Bir PA'nın Özellikleri

  • 1. mülk

Bir PA'nın herhangi bir terimi verildiğinde, ortalama aritmetik halefi ve selefi arasındaki terim bu terime eşittir.

Misal:

İlerlemeyi (-1, 2, 5, 8, 11) ve 8 terimini düşünün. 11 ile 5 arasındaki ortalama 8'e eşittir, yani PA'daki bir sayının öncülü ile halefinin toplamı her zaman bu sayıya eşittir.

  • 2. mülk

Eşit uzaklıklı terimlerin toplamı her zaman eşittir.

Misal:

PA terimlerinin toplamı

Yukarıda gösterilen altı BP terimini eklemek istediğimizi varsayalım: (16,13,10,7,4,1). Terimlerini basitçe ekleyebiliriz - bu durumda birkaç terim vardır, bu mümkündür - ama eğer öyleyse daha uzun bir dize, özelliği kullanmalısınız. Özellikte gördüğümüz gibi, eşit uzaklıklı terimlerin toplamının her zaman eşit olduğunu biliyoruz, bu yüzden bunu yaparsak bir kez ekleyin ve terim miktarının yarısı ile çarpın, ilk altı terimin toplamını elde ederiz. TAVA.

Örnekte, 17'ye eşit olan birinci ve sonuncunun toplamını, terim miktarının yarısı ile, yani 17 çarpı 3, yani 51'e eşit olarak hesaplıyor olacağımızı unutmayın.

formülü PA terimlerinin toplamı aritmetik ilerlemelerde bu simetriyi fark eden matematikçi Gauss tarafından geliştirildi. Formül aşağıdaki gibi yazılır:

sHayır → n elemanın toplamı

1 → ilk terim

Hayır → son terim

n → terim sayısı

Misal:

1'den 2000'e kadar olan tek sayıların toplamını hesaplayın.

Çözüm:

Bu dizinin bir PA (1,3,5, ….) olduğunu biliyoruz. 1997, 1999). Toplamı yapmak çok fazla iş olurdu, bu nedenle formül oldukça uygundur. 1'den 2000'e kadar sayıların yarısı tektir, yani 1000 tek sayı vardır.

Veri:

n→ 1000

1 → 1

Hayır → 1999

Ayrıca erişim: Sonlu bir PG'nin toplamı - nasıl yapılır?

Aritmetik ortalamaların enterpolasyonu

Bir aritmetik ilerlemenin ardışık olmayan iki terimini bilerek, bu iki sayı arasında kalan tüm terimleri bulmak mümkündür. aritmetik ortalamaların enterpolasyonu.

Misal:

13 ile 55 arasında 5 aritmetik ortalama arayalım. Bu, 13 ile 55 arasında 5 sayı olduğu ve bir ilerleme oluşturduğu anlamına gelir.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

Bu sayıları bulmak için sebebini bulmak gerekir. İlk terimi biliyoruz (1 = 13) ve ayrıca 7. terim (7= 55), ancak şunu biliyoruz:

Hayır =1 + r ·(n – 1 )

n = 7 → bir olduğundaHayır= 55. Bir de kıymetini biliyoruz1=13. Bu nedenle, formülde yerine koyarak şunları yapmalıyız:

55 = 13 + r ·( 7 – 1 )

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42:6

r = 7.

Sebebini bilerek 13 ile 55 arasındaki terimleri bulabiliriz.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

1'den 10'a kadar olan dizi, oran 1'in aritmetik bir ilerlemesidir.
1'den 10'a kadar olan dizi, oran 1'in aritmetik bir ilerlemesidir.

çözülmüş alıştırmalar

Soru 1 - (Enem 2012) - Kağıt oynamak, akıl yürütmeyi teşvik eden bir aktivitedir. Geleneksel bir oyun, 52 kart kullanan Solitaire'dir. Başlangıçta kartlarla yedi sütun oluşturulur. İlk sütunda bir kart, ikincide iki kart, üçüncü sütunda üç kart, dördüncü sütunda dört kart vb. art arda yedi kart içeren yedinci sütuna ve desteyi oluşturan, kullanılmayan kartlar sütunlar.

Yığını oluşturan kartların sayısı:

A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.

çözüm

Alternatif B.

İlk önce kullanılan toplam kart sayısını hesaplayalım. İlk terimi 1 ve oranı da 1 olan bir AP ile çalışıyoruz. Yani 7 satırın toplamını hesaplarken son terim 7 ve n'nin değeri de 7'dir.

Kullanılan toplam kart sayısının 28 olduğu ve 52 kart olduğu bilindiğinde, yığın şu şekilde oluşturulmuştur:

52 - 28 = 24 kart

Soru 2 - (Enem 2018) İç kısımdaki küçük bir kasabanın belediye binası çevresine aydınlatma için direkler koymaya karar verir. merkezi bir meydanda başlayan ve bölgedeki bir çiftlikte biten düz bir yol boyunca. kırsal. Meydanda zaten aydınlatma olduğu için, ilk direk meydandan 80 metre, ikincisi 100 metre, üçüncü direk 120 metre vb. Ardışık olarak, direkler arasında her zaman 20 metre mesafeyi koruyarak, son direk 1,380 metre mesafeye yerleştirilinceye kadar Meydan.

Şehir, yerleştirilen gönderi başına maksimum 8,000,00 R$ ödeyebilirse, bu gönderileri yerleştirmek için harcayabileceğiniz en yüksek miktar:

A) 512 000.00 BRL.
B) 520.000,00 BRL.
C) 528.000.000 R$.
D) 552.000.000 BRL.
E) BRL 584 000.00.

çözüm

Alternatif C.

Her 20 metrede bir direk yerleştirileceğini yani r = 20 olduğunu ve bu PA'nın ilk teriminin 80 olduğunu biliyoruz. Ayrıca, son terimin 1380 olduğunu biliyoruz, ancak 80 ile 1380 arasında kaç terim olduğunu bilmiyoruz. Bu terim sayısını hesaplamak için genel terim formülünü kullanalım.

Veri: birHayır = 1380;1=80; ve r = 20.

Hayır= bir1 + r·(n-1)

660 gönderi yerleştirilecek. Her biri maksimum 8.000 R$'a mal olacaksa, bu gönderilerin yerleştirilmesi için harcanabilecek en yüksek miktar:

66· 8 000 = 528 000

Raul Rodrigues de Oliveira 

Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm

Genç Fransa Kralı VII.Louis

Fransa Kralı (1137-1180), saltanatı sırasında ünlü Notre-Dame de Paris Katedrali'nin inşaatına ba...

read more

Roberto de Oliveira Campos

Brezilyalı ekonomist, diplomat, yazar ve profesör Cuiabá'da doğdu, Mato Grosso, 40 yılı aşkın sür...

read more

Sir Robert Williams Wood

Concord, Mass doğumlu Amerikalı fizikçi, optik ve spektroskopi araştırmacısı, atomik ve moleküler...

read more