Matris çarpımı: nasıl hesaplanır, örnekler

bu mmatris çarpımı çok dikkat gerektiren bir algoritma ile yapılır. A matrisi ile B matrisi arasındaki ürünün var olması için, sayısının gerekli olması sütunlar verir ilk Merkez, durumunda A, sayısına eşittir çizgiler verir Pazartesi Merkez, B durumunda.

Matrisler arasındaki çarpımdan, birim matrisin ne olduğunu anlamak mümkündür. matris çarpımının nötr elemanı ve M matrisi olan M matrisinin ters matrisi nedir?^-1 kimin ürünü M by M^-1 kimlik matrisine eşittir. Bir matrisi gerçek bir sayı ile çarpmak da mümkündür - bu durumda, matrisin terimlerinin her birini çarpıyoruz. Merkez numaraya göre.

Siz de okuyun: üçgen matris nedir?

varoluş koşulu

Matrisler arasındaki çarpma, çok dikkat gerektiren bir işlemdir.

İki matrisi çarpmak için önce varlık koşulunu kontrol etmek gerekir. Ürünün var olması için, birinci matristeki sütun sayısı, ikinci matristeki satır sayısına eşit olmalıdır. Ayrıca çarpmanın sonucu, birinci matrisle aynı sayıda satıra ve ikinci matrisle aynı sayıda sütuna sahip bir matristir.

Örneğin, A matrisleri arasındaki AB çarpımı_3x2 ve B_2x5 A'daki (2 sütun) sütun sayısı B'deki (2 satır) satır sayısına eşit olduğu için vardır ve sonuç AB matrisidir._3x5. Zaten C matrisleri arasında çarpım_3x5 ve matris D_2x5 C'nin 5 sütunu ve D'nin 3 satırı olduğu için mevcut değildir.

Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)

İki matris arasındaki ürün nasıl hesaplanır?

Matris çarpımını gerçekleştirmek için, bazı adımları takip etmek gereklidir. A cebirsel matrisinin çarpımına bir örnek yapacağız._2x3 B matrisine göre_3x2

Ürünün var olduğunu biliyoruz, çünkü A matrisinin 3 sütunu ve B matrisinin 3 satırı vardır. A·B çarpmasının sonucunu C olarak adlandıracağız. Ayrıca sonucun bir C matrisi olduğunu da biliyoruz._2x2, çünkü A matrisinin 2 satırı ve B matrisinin 2 sütunu vardır.

A matrisinin çarpımını hesaplamak için_2x3 ve matris B_3x2, birkaç adımı takip edelim.

İlk önce C matrisinin terimlerinin her birini bulacağız._2x2:

Terimleri bulmak için, hadi A matrisinin satırlarını her zaman B matrisinin sütunlarıyla ilişkilendirin:

ç₁₁ → 1. satır A ve B'nin 1. sütunu
ç₁₂ → 1. satır A ve 2. sütun B
ç₂₁ → 2. satır A ve B'nin 1. sütunu
ç₂₂ → 2. satır A ve 2. sütun B

A satırındaki terimlerle B sütunundaki terimleri çarparak terimlerin her birini hesaplıyoruz. Şimdi başlayarak bu ürünleri eklemeliyiz. ç_11:

1. satır A
B'nin 1. sütunu

ç₁₁ = ₁₁·B₁₁ + ₁₂·B₂₁+ ₁₃·B₃₁

Hesaplanıyor ç₁₂:

1. satır A
2. sütun B

ç₁₂ = ₁₁·B₁₂ + ₁₂·B₂₂+₁₃·B₃₂

Hesaplanıyor ç₂₁:

2. satır A
B'nin 1. sütunu

ç₂₁ = ₂₁·B₁₁ + ₂₂·B₂₁+₂₃·B₃₁

terimin hesaplanması ç₂₂:

2. satır A
2. sütun B

ç₂₂ = ₂₁·B₁₂ + ₂₂·B₂₂+₂₃·B₃₂

Böylece, C matrisi şu terimlerle oluşturulur:

Misal:

A ve B matrislerinin çarpımını hesaplayalım.

A'da olduğunu biliyoruz_2x2 ve B_2x3, birincideki sütunların sayısı ikincideki satırların sayısına eşittir, dolayısıyla ürün var olur. Yani C = A· B yapacağız ve biliyoruz ki C_2x3.

Çarpma, yapmamız gerekenler:

Ayrıca bakınız: Transpoze edilmiş matris nedir?

kimlik matrisi

Matrisler arasında çarpma işleminde, aşağıdaki gibi bazı özel durumlar vardır: matrisler arasındaki çarpmanın nötr elemanı olan kimlik matrisi.. Birim matrisi bir kare matristir, yani satır sayısı her zaman sütun sayısına eşittir. Ayrıca, sadece köşegenin terimleri 1'e eşittir ve diğer terimlerin tümü sıfıra eşittir. Bir M matrisini I birim matrisi ile çarptığımızda_Hayır, Zorundayız:

M · ben_Hayır = M

2. dereceden 5. sıraya kadar kimlik matrisleri

Misal:

ters matris nedir?

Bir M matrisi verildiğinde, onu M'nin ters matrisi olarak biliyoruz. matris M^-1kimin ürünü M · M^-1 eşittir à kimlik matrisi I_Hayır. Bir matrisin tersi olması için kare olması gerekir ve belirleyici 0'dan farklı olmalıdır. Ters matris örneklerine bakalım:

A·B çarpımını hesaplarken şunları yapmalıyız:

unutmayın A ve B oluşturulan matris I arasındaki çarpım₂. Bu olduğunda, B'nin A'nın ters matrisi olduğunu söylüyoruz. Bu tür matris hakkında daha fazla bilgi edinmek için şunu okuyun: ters matris.

Gerçek bir sayı ile matris çarpımı

Matrisler arasındaki çarpmanın aksine, bir ile matris çarpması da vardır. gerçek Numaraçözümü bulmak için çok daha basit bir işlemdir.

Bir M matrisi verildiğinde, matrisin gerçek bir sayı ile çarpılması k matrise eşittir kM. Bu matrisi bulmak için kyeterli matristeki tüm terimleri sabitle çarpın k.

Misal:

Eğer k = 5 ve aşağıdaki M matrisini dikkate alarak 5M matrisini bulun.

çarpma:

çözülmüş alıştırmalar

Soru 1 - (Unitau) Verilen A ve B matrisleri,

c öğesinin değeri₁₁ C = AB matrisinin durumu:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

çözüm

Alternatif A.

c terimini nasıl istiyoruz₁₁, ilk satırdaki ve A'daki terimleri B'nin ilk sütunundaki terimlerle çarpalım.

c'yi hesaplamak₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Soru 2 - (Enem 2012) Bir öğrenci bazı derslerinin iki ayda bir aldığı notları bir tabloya kaydetti. Tablodaki sayısal girdilerin 4×4 matris oluşturduğunu ve matrislerin çarpımını kullanarak bu disiplinlerin yıllık ortalamalarını hesaplayabildiğini kaydetti. Tüm testler aynı ağırlığa sahipti ve aldığı tablo aşağıda gösterilmiştir.

Bu ortalamaları elde etmek için tablodan elde edilen matrisi matris ile çarpmıştır:

çözüm

Alternatif E.

Ortalama, elemanların toplamının eleman sayısına bölünmesinden başka bir şey değildir. Her satırda 4 not olduğuna dikkat edin, bu nedenle ortalama, bu notların toplamının 4'e bölünmesi olacaktır. 4'e bölmek ile çarpmak aynı şeydir. kesir ¼. Ayrıca, notlar matrisi 4x4'lük bir matristir, yani notların ortalamasına sahip matrisi bulmak için 4x1'lik bir matrisle, yani 4 satır ve 1 sütundan oluşan bir matrisle çarpmamız gerekir.

Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni