Du irrationella siffror orsakade stor oro hos matematiker under en lång period. Idag, redan väldefinierade, vet vi som ett irrationellt tal den vars decimalrepresentation är alltid ett icke-periodiskt decimal. Det främsta kännetecknet för irrationella och vad som skiljer dem från rationella tal är att de kan inte representeras av a fraktion.
Studien av irrationella siffror fördjupades när icke-exakta rötter hittades vid beräkning av problem med Pythagoras sats. Handlingen att leta efter en lösning på dessa inexakta rötter gjorde existensen av icke exakta tiondet anmärkningsvärt. periodiskt, det vill säga av tal vars decimaldel är oändlig och inte har en bra sekvens. definierat. De viktigaste irrationella siffrorna är icke-periodiska decimaler, icke-exakta rötter och π.
Läs också: Kvadratrot - fall av rotning där radikalt index är 2
Uppsättning av irrationella siffror
Innan studien av irrationella siffror studerades antal siffror naturlig, heltal och rationella. När vi fördjupade oss djupare i studien av rektangelns triangel, blev det klart att
det finns några rötter som inte har någon exakt lösning, i synnerhet var det möjligt att se att icke-exakta rotlösningar är siffror känd som icke-periodiska tionder.Mitt i denna orolighet har många matematiker försökt, utan framgång, visa att oriktiga rötter är rationella tal och som kan representeras som en bråkdel, men vad som insåg var att dessa siffror inte kunde representeras i detta form. Eftersom uppsättningen rationella nummer hittills inte inkluderade dessa siffror uppstod behovet av att skapa en ny uppsättning, känd som uppsättningen irrationella nummer.
Ett tal är irrationellt när dess decimalrepresentation är ett icke-periodiskt decimal. |
Vad är irrationella tal?
För att vara ett irrationellt tal måste det uppfylla definitionen, det vill säga dess decimalrepresentation är en icke-periodisk decimal. Huvudegenskapen för icke-periodiska decimaler är att de inte kan representeras med hjälp av en bråkdel, vilket visar att irrationella tal är motsatsen till rationella tal.
De viktigaste siffrorna med denna funktion är rötterna inte exakta.
Exempel:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
När du letar efter icke-exakta rotlösningar, det vill säga alltid att utföra decimalrepresentationen av dessa siffror vi kommer att hitta ett icke-periodiskt decimal, vilket gör dessa siffror till en del av uppsättningen irrationell.
Förutom icke exakta rötter finns det själva icke-periodiska decimaler, till exempel, om vi beräknar icke-exakta rötter kommer vi att hitta ett icke-periodiskt decimal.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Irrationella siffror representeras vanligtvis av grekiska bokstäver, eftersom det inte går att skriva alla dess decimaler.
Den första är π (läs: pi), närvarande i beräkningen av arean och omkretsen av cirklar. Har ett värde lika med 3,1415926535…
Förutom π är ett annat mycket vanligt nummer ϕ (läs: fi). Han finns i problem som involverar andel gyllene. Det har ett värde lika med 1.618033 ...
Se också: Vad är primtal?
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
rationellt och irrationellt nummer
När man analyserar antal uppsättningar, det är viktigt att skilja mellan rationella och irrationella siffror. Föreningen av dessa två uppsättningar bildar en av de mest studerade uppsättningarna i matematik, uppsättningen realer, det vill säga uppsättningen riktiga nummer det är sammankopplingen av tal som kan representeras som bråk (rationell) med tal som inte kan representeras som bråk (irrationell).
I uppsättningen rationella nummer, det finns heltal, naturliga, exakta decimaler och periodiska decimaler.
Exempel på rationella tal:
-60 → heltal
2,5 → exakt decimal
5.1111111... → periodiskt decimal
De irrationella siffrorna är icke-periodiska decimaler, så det finns inget tal som är rationellt och irrationellt samtidigt.
Exempel på irrationella siffror:
1,123149… → icke-periodisk tionde
2.769235… → icke-periodisk tionde
Operationer med irrationella siffror
addition och subtraktion
DE tillägg och den subtraktion av två irrationella siffror är vanligtvis precis representerade, om inte en decimal approximation av dessa siffror används, till exempel:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Vi kan inte lägga till eller subtrahera värdena på grund av radikalerna, så vi har precis lämnat den angivna operationen.
I decimalrepresentationer är det inte heller möjligt att utföra den exakta summan, så för att lägga till två irrationella tal behöver vi en rationell approximation., och denna framställning väljs utifrån behovet av precision för dessa data. Ju fler decimaler vi betraktar, desto närmare den exakta summan får vi.
Observation:uppsättningen irrationella tal är inte stängd för addition eller subtraktion, det betyder att summan av två irrationella tal kan resultera i ett tal som inte är rationellt. Om vi till exempel beräknar skillnaden mellan ett irrationellt tal och motsatsen måste vi:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Vi vet att 0 inte är ett irrationellt tal.
Multiplikation och delning
Multiplikationen och division av irrationella siffror kan göras om representationen är en strålningemellertid, som addition, i decimalrepresentation, det vill säga multiplicera eller dela två decimaler, krävs en rationell approximation av detta tal.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Observera också att i exempel b är 4 ett rationellt tal, vilket betyder att multiplikationen och delningen av två irrationella tal inte är stängda, det vill säga de kan få ett rationellt resultat.
lösta övningar
Fråga 1 - Granska följande siffror:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Dessa är irrationella siffror:
A) Endast I, IV och V
B) Endast II, III och VI
C) Endast II, IV och VI
D) Endast I, II, III och VI
E) Endast III, IV, V och VI
Upplösning
Alternativ B
I → numret är exakt decimalt, rationellt.
II → siffran är ett icke-periodiskt, irrationellt decimal.
III → π är irrationell, och dess dubbla, det vill säga 2π, är också irrationell.
IV → siffran är en periodisk, rationell decimal.
V → exakt, rationell rot.
VI → rot inte exakt, irrationell.
Fråga 2 - Vänligen bedöm följande uttalanden:
I - Uppsättningen av reella tal är föreningen av rationell och irrationell;
II - Summan av två irrationella tal kan vara ett rationellt tal;
III - tionde är irrationella tal.
När vi analyserar uttalandena kan vi säga att:
A) Endast uttalande I är sant.
B) Endast uttalande II är sant.
C) Endast uttalande III är sant.
D) Endast uttalanden I och II är sanna.
E) Alla uttalanden är sanna.
Upplösning
Alternativ D
I → Sant, för definitionen av uppsättningen av reella tal är föreningen mellan rationell och irrationell.
II → Det är sant, när vi lägger till ett tal till motsatsen till det kommer vi att få talet 0, vilket är rationellt.
III → Falska, icke-periodiska tionder är irrationella.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
