Alla befintliga nummer skapades efter mänskliga behov vid skapandet, vilket är fallet med naturliga tal, vilket skapades för att räkna och kontrollera "bestånd" och irrationella siffror, som skapades för att lösa problem i förhållande till rötter. Det var just problemen med rötter som startade kunskapen om komplexa tal.
Den kvadratiska ekvationen x2 + 4x + 5 = 0 har inga verkliga rötter. Detta betyder att det inom omgången av reella tal är omöjligt att hitta värden för x som motsvarar den första termen i denna ekvation till den andra. Vi observerar detta fenomen från början av Bhaskaras formel:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
När ett negativt värde har hittats för Δ blir det omöjligt att fortsätta med Bhaskaras formel, eftersom det kräver att √Δ (rot till delta) beräknas. Nu vet vi att √– 4 inte kan beräknas eftersom det inte finns något verkligt tal som multiplicerat med sig själv skulle resultera i - 4.
Komplexa nummer skapades för att möta dessa behov. Från och med skapandet kan √– 4 utvecklas enligt följande:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) förstås som en ny typ av nummer. Uppsättningen av alla dessa nummer är känd som uppsättningen komplexa nummer, och varje representant för denna nya uppsättning definieras enligt följande: Låt A vara ett komplext tal, sedan,
A = De + Bjag var Deoch B är reella tal och i = √ (- 1)
I denna definition, De Det är känt som verklig del av A och B Det är känt som imaginär del av A.
Egenskaper för komplexa tal
Verkliga tal representerar, i sin helhet och geometriskt, en linje. Komplexa tal representerar i sin tur ett helt plan. Det kartesiska planet som används för att representera de komplexa siffrorna är känt som Argand-Gauss-planet.
Varje komplext tal kan representeras på Argand-Gauss-planet som en koordinatpunkt (a, b). Avståndet från den punkt som representerar ett komplext tal till punkten (0,0) kallas komplexet för modulens nummer., som definieras:
Låt A = a + bi vara ett komplext tal, dess modul är | A | = a2 + b2
Komplexa tal har också ett omvänd element, kallat konjugat. Det definieras som:
Låt A = a + bi vara ett komplext tal,
Ā = a - bi är konjugatet för detta nummer.
Fastighet 1: Produkten av ett komplext tal och dess konjugat är lika med summan av kvadraterna för den verkliga delen och den imaginära delen av det komplexa numret. Matematiskt:
AĀ = a2 + b2
Exempel: Vad är produkten av A = 2 + 5i med dess konjugat?
Gör bara beräkningen: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Om vi valde att skriva konjugatet av A och därefter utföra multiplikationen AĀ skulle vi ha:
AĀ = (2 + 5i) (2-5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Det vill säga att med hjälp av den föreslagna egenskapen är det möjligt att undvika en lång beräkning såväl som fel under dessa beräkningar.
Fastighet 2: Om ett komplext tal A är lika med konjugatet, är A ett reellt tal.
Låt A = a + bi. Om A = Ā, då:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Därför är b = 0
Därför är det obligatoriskt att varje komplext tal som är lika med dess konjugat också är ett reellt tal.
Fastighet 3: Konjugatet av summan av två komplexa tal är lika med summan av konjugaten av dessa tal., det är:
_____ _ _
A + B = A + B
Exempel: Vad är konjugatet av summan av 7 + 9i och 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Du kan lägga till först och sedan beräkna konjugatet av resultatet eller göra konjugaten först och sedan lägga till resultaten senare.
Fastighet 4: Produktens konjugat mellan två komplexa tal är lika med produkten av deras konjugat, dvs:
__ _ _
AB = A · B
Exempel: Vad är produkten av konjugaten A = 7i + 10 och B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4-3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Beroende på övningsbehovet är det möjligt att först multiplicera och beräkna konjugatet efteråt eller visa konjugaten innan multiplikationen utförs.
Fastighet 5: Produkten av ett komplext tal A och dess konjugat är lika med kvadraten av modulens A, dvs:
AĀ = | A |2
Exempel: A = 2 + 6i, sedan AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Observera att det inte är nödvändigt att hitta konjugatet och utföra en multiplikation genom den fördelande egenskapen multiplikation över tillsats (kallas lite duschhuvud).
Fastighet 6: Modulen för ett komplext tal är lika med modulen för dess konjugat. Med andra ord:
| A | = | Ā |
Exempel: Hitta modulen för konjugatet av komplextalet A = 3 + 4i.
Observera att det inte är nödvändigt att hitta konjugatet, eftersom modulerna är desamma.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Om | Ā | beräknades, skulle den enda ändringen vara a B negativt i kvadrat, vilket har ett positivt resultat. Således skulle resultatet fortfarande vara roten till 25.
Fastighet 7: Om A och B är komplexa tal är modulprodukten för A och B lika med produkten för A och B., dvs:
| AB | = | A || B |
Exempel: Låt A = 6 + 8i och B = 4 + 3i, hur mycket är | AB |?
Observera att det inte är nödvändigt att multiplicera komplexa tal innan du beräknar modulen. Det är möjligt att beräkna modulen för varje komplext tal separat och sedan bara multiplicera resultaten.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm