O Venn diagram, även känt som ett Venn-Euler-diagram, är ett sätt att rita en uppsättning, för detta använder vi en stängd linje som inte har självkorsning och vi representerar elementen i uppsättningen inuti denna linje. Tanken med diagrammet är att underlätta förståelsen i grundläggande uppsättningsoperationer, såsom: inkludering och tillhörande relation, union och korsning, skillnad och kompletterande uppsättning.
Läs också: Operationer mellan heltal: känn egenskaperna
Venn-diagramrepresentationer
Som visat består Venn-diagrammet av en sluten (icke-sammanflätad) linje där vi "placerar" elementen i den aktuella uppsättningen, så att vi kan representerar en eller flera uppsättningar samtidigt. Se exemplen:
• Enkel uppsättning
Vi kan representera dig med en enda stängd linjetill exempel, låt oss representera uppsättningen A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Mellan två uppsättningar
Vi måste skapa två grafer som den som representerar den ena uppsättningen. Men från operationer med uppsättningar vet vi att: med tanke på två uppsättningar kan de korsa eller inte. Om de två uppsättningarna inte skär varandra namnges de
ojämna uppsättningar.Exempel 1
Plott, med hjälp av Venn-diagrammet, uppsättningarna A = {a, b, c, d, e, f} och B = {d, e f, g, h, i}.
Observera att korsningen är den del av diagrammet som tillhör de två uppsättningarna, precis som i definitionen.
A ∩ B = {d, e, f}
Exempel 2
Plotta uppsättningarna C = {a, b, c, d} och D = {e, f, g, h}.
Observera att skärningspunkten mellan dessa uppsättningar är tom, eftersom den inte har något element som tillhör båda samtidigt, det vill säga:
C ∩ D = {}
• Mellan tre uppsättningar
Idén bakom representationen med hjälp av Venn-diagrammet för tre uppsättningar liknar representationen mellan två uppsättningar. I denna bemärkelse kan uppsättningar vara åtskilda en efter en, det vill säga de har ingen korsning; eller de kan vara separata två och två, det vill säga bara två av dem skär varandra. eller alla skär varandra.
Exempel
Representation, med hjälp av Venn-diagrammet, för uppsättningarna A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} och C = {d, e, c, h}.
Se också: Viktiga uppsättningsnoteringar
medlemsförhållande
Med medlemsförhållandet kan vi säga om ett element tillhör en viss uppsättning eller inte. För detta använder vi symbolerna:
Tänk på uppsättningen A = {a, b, c, d}. När vi analyserar det inser vi det gtillhör till exempel inte honom, så i Venn-diagrammet har vi:
Inklusionsförhållande
Inklusionsförhållandet tillåter oss att säga huruvida en uppsättning ingår i en annan uppsättning. När en uppsättning ingår i en annan säger vi att den är en delmängd. För detta använder vi symbolerna:
Ett exempel på detta är förhållandet mellan uppsättningen naturliga tal och uppsättning heltal. Vi vet att uppsättningen naturliga tal är en delmängd av uppsättningen heltal, det vill säga uppsättningen naturliga ingår i uppsättningen heltal.
Funktioner mellan uppsättningar
De grundläggande operationerna mellan två eller flera uppsättningar är: enhet, genomskärning och skillnad mellan två uppsättningar.
• Union
Föreningen mellan två uppsättningar bildas genom att sammanfoga elementen i varje uppsättning, med andra ord: alla element i de två uppsättningarna beaktas. Se:
Tänk på uppsättningarna A = {1, 2, 3, 4} och B = {3, 4, 5, 6, 7}. Föreningen mellan dem ges av:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
I Venn-diagrammet skuggade vi unionsdelen, det vill säga båda uppsättningarna, kontrollera:
• Genomskärning
Korsningen är en ny numerisk uppsättning som bildas av element som samtidigt tillhör andra uppsättningar. I allmänhet ges skärningspunkten mellan uppsättningar i Venn-diagrammet av den del som är gemensam för de inblandade graferna. Se:
Med tanke på uppsättningarna A = {1, 2, 3, 4} och B = {3, 4, 5, 6, 7} har vi att elementen som tillhör uppsättningen A och uppsättningen B samtidigt är :
A ∩ B = {3,4}
• Skillnad mellan två uppsättningar
Tänk på två uppsättningar C och D, skillnaden mellan dem (C - D) kommer att vara en ny uppsättning som bildas av element som tillhör C och inte tillhör D. Generellt kan vi representera denna skillnad med hjälp av Venn-diagrammet enligt följande:
lösta övningar
fråga 1 - (Ufal) I följande figur har icke-sammanhängande uppsättningar A, B och C representerats. Den färgade regionen representerar uppsättningen:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A UB) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Lösning
Alternativ b.
När vi kommer ihåg operationerna med uppsättningar vet vi att skärningspunkten mellan två uppsättningar i Venn-diagrammet ges av den del som är gemensam för dem. Med tanke på uppsättningarna A, B och C och färgning av uppsättningskorsningen A ∩ B har vi:
Titel: Lösningsfråga 1 - del 1
Observera att om vi tar bort elementen från uppsättningen C får vi den färgade delen som begärs av övningen, det vill säga vi måste först markera skärningspunkten och sedan ta bort elementen från C.
(A ∩ B) - C
fråga 2 - (Uerj) Barn på en skola deltog i en vaccinationskampanj mot infantil förlamning och mässling. Efter kampanjen fann man att 80% av barnen fick förlamningsvaccinet, 90% fick mässlingvaccinet och 5% fick inget av dem.
Bestäm andelen barn på denna skola som fick båda vaccinerna.
Lösning
Eftersom andelen barn som fick båda vaccinerna är okänd, låt oss initialt kalla det x. Kom ihåg att vi inte får arbeta med% -symbolen utan skriva övningsprocenten i deras decimal- eller bråkform.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
För att ta reda på det totala antalet barn som bara tog förlamningsvaccinet subtraherade vi den verifierade andelen (80%) av procentandelen av dem som tog båda (x), och samma bör göras för barn som bara tog vaccinet mot mässling. Således:
Anslutning till alla barn kommer att vara 100%, därför:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Därför hade 75% av barnen på skolan båda vaccinerna.
Av L.do Robson Luiz
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
