När vi studerar polyeder, stöter vi på Platons fasta ämnen som ett särskilt fall. För att vara en platonfast substans måste polyedronen uppfylla tre villkor:
vara konvex;
alla ansikten har samma mängd kanter;
alla hörn är ändar av samma antal kanter.
Flera filosofer försökte förstå universums ursprung, och Platon såg det i rumslig geometri förklaringen till detta ursprung. Platons fasta ämnen är:
tetraeder;
hexahedron;
oktaeder;
dodekaeder;
icosahedron.
Alla betraktas som vanliga polygoner, som deras kanterna och deras ansikten är alla kongruenta. Platons fasta ämnen respekterar Eulers förhållande, som listar antalet hörn, ansikten och kanter med formeln V + F = A + 2.
Läs också: Vad är skillnaderna mellan platta och rumsliga figurer?
vanlig polyeder
Sökandet efter vanlig polyeder är återkommande eftersom de är lättare att arbeta med. En polyeder klassificeras som vanlig om den har alla ansikten formade av samma polygon kongruent. När detta inträffar, vinklar och kanter är också kongruenta.
Platons fasta ämnen är speciella fall av vanlig polyeder. Kuben, till exempel, som är en fast platon, har alla dess ansikten bildade av kongruenta rutor. Av Platons fem fasta ämnen, tre bildas av triangulära ytor med kongruenta trianglar, en bildas av fyrkantiga ytor och den andra bildas av femkantiga ytor.
Vad är Platons fasta ämnen?
Platon var en grekisk filosof och matematiker. Han gjorde stora bidrag till matematik och, när han försökte förstå universum, associerade fasta ämnen med naturelement.
För att vara en platonisk fast substans måste polyedern vara regelbunden och konvex. Det finns bara fem fasta ämnen som uppfyller denna definition. De är: tetraeder, kub eller hexaheder, oktaeder, ikosaeder och dodekaeder.
Förhållandet mellan naturelementet och det fasta var:
tetraeder - eld
hexahedron - Jorden
oktaeder - luft
icosahedron - Vatten
dodekaeder - Cosmo eller universum
Att vara en platonfast, O polyeder måste också vara konvexmåste alla ansikten ha samma antal kanter och alla hörn måste vara ändarna av samma antal kanter.
Se också: Kullerstenar - geometriska fasta ämnen bildade av plana och polygonala ansikten
vanlig tetraeder
Den vanliga tetraedern är en polyeder som har fyra ansikten, vilket motiverar sitt namn (tetra = fyra). alla dina ansikten är bildas av trianglar. Den är formad som en pyramid av triangulär bas och är känd som en pyramid av vanlig bas, eftersom alla dess ansikten är kongruenta. Den har totalt 4 ansikten (i formatet liksidig triangel), 4 hörn och 6 kanter.
Om du vill bygga din egen vanliga tetraeder är det bara att ladda ner och skriva ut PDF-filen på här.
Vanlig kub eller hexahedron
den vanliga hexahedronen har 6 ansikten, vilket motiverar sitt namn (hex = sex). dina ansikten är alla fyrkant. Det är också känt som en kub och har 6 ansikten, 12 kanter och 8 hörn.
Om du vill bygga din egen kub är det bara att ladda ner och skriva ut PDF-filen på här.
Oktaeder
Liksom de tidigare är namnet kopplat till antalet ansikten, därav oktaedronen har 8 ansikten. Dessa ansikten har liksidig triangelform. Oktahedern har 8 ansikten, 12 kanter och 6 hörn.
Om du vill bygga din egen oktaeder är det bara att ladda ner och skriva ut PDF-filen på här.
icosahedron
Icosahedronen har totalt 20 ansikten. Deras ansikten är formade som liksidiga trianglar, precis som oktaeder. Den har totalt 20 ansikten, 30 kanter och 12 hörn.
Om du vill bygga din egen icosahedron är det bara att ladda ner och skriva ut PDF-filen på här.
Dodekaeder
Dodecahedronen är den sista av Platons fasta ämnen. Den har totalt 12 ansikten och anses vara mer harmonisk bland de fem platoniska fasta ämnena. Deras ansikten har formen av pentagoner. Den har 12 ansikten, 30 kanter och 20 hörn.
Om du vill bygga din egen dodecahedron är det bara att ladda ner och skriva ut PDF-filen på här.
Också tillgång: Cylinder - geometrisk solid bildad av två parallella cirkulära ytor och i olika plan
Eulers formel
Eulerian polyhedra är konvexa polyhedra. Euler utvecklade en formel som relaterar antalet ansikten (F), antalet hörnpunkter (V) och antalet kanter (A) i en konvex polyeder. Alla fasta partiklar från Platon uppfyller Euler-förhållandet.
V + F = A + 2 |
Analysera formeln, det är då möjligt att beräkna antalet hörn från antalet ytor och kanter, eller antalet ansikten från antalet hörn och kanter, slutligen, att känna till två av dess element är det alltid möjligt att hitta det tredje.
Exempel:
Att veta att en polyeder har åtta hörn och 12 kanter och att den är vanlig, hur många ansikten har den?
Vi vet att V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
lösta övningar
Fråga 1 - (Enem 2016) Platons fasta ämnen är konvexa polyeder, vars ansikten alla är kongruenta till en enda polygon regelbundet har alla hörn samma antal infallande kanter och varje kant delas av endast två. ansikten. De är till exempel viktiga för att klassificera formerna av mineralkristaller och för utvecklingen av olika föremål. Liksom alla konvexa polyhedroner respekterar Platons fasta ämnen Euler-förhållandet V - A + F = 2, där V, A och F är antalet vertikaler, kanter och ytor på polyhedronen.
Vad är förhållandet mellan antalet hörn och antalet ansikten i en kristall, vars form är av en trekantig Platons polyeder?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Upplösning
Alternativ C. Eftersom ansiktena är triangulära vet vi att det finns tre kanter för varje ansikte. För att relatera antalet kanter till antalet ansikten är det dock viktigt att komma ihåg att varje kant finns på två ansikten, eftersom mötet mellan två ansikten bildar en kant, så vi kan relatera kant till ansikte i det här fallet per:
Med Euler-förhållandet som V - A + F = 2 och ersätter A, måste vi:
Fråga 2 - Utifrån alternativen nedan, bedöm vilken som inte är en Platon-fast substans.
A) Kub
B) Vanlig tetraeder
C) Icosahedron
D) Dodekaeder
E) kon
Upplösning:
Alternativ E. Av alternativen är den enda som inte motsvarar en platonfast substans kon.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm