Till skillnad från de geometriska figurerna som bildades av honom Göra har ingen definition. Detta innebär att en punkt i geometri är ett odefinierat objekt som används för att definiera andra objekt. Linjer är till exempel uppsättningar av punkter. Även om de ser väldefinierade ut, har raderna ingen definition, eftersom varje uppsättning som innehåller två eller flera punkter anses vara raka.
Å andra sidan, i analytisk geometri, tas punkten som en plats. Varje plats kan representeras av en punkt och dessutom ges "adress" för den punkten med hjälp av koordinater.
Men i analytisk geometri kan punkter bara indikera platser. Andra objekt behövs för att indikera bana, riktning, riktning och intensitet. När det gäller dessa tre sista är det objekt som valts att representera dem i det kartesiska planet vektor.
→ Vad är en vektor?
Vektorerär därför objekt som indikerar riktning, känsla och intensitet. De representeras vanligtvis av pilar som börjar från ursprunget och koordinaterna för deras sista punkt används.
I bilden ovan representeras vektorerna på detta sätt, det vill säga pilar vars koordinater motsvarar deras slutpunkt. Vektor u har koordinater (2,2) och vektor v har koordinater (4,2). Dessutom används pilen för att ange riktning och riktning, och dess storlek indikerar intensitet.
→ Vektormultiplikation med ett tal
Med tanke på vektorn v = (a, b) ges produkten av det verkliga talet k av v genom uttrycket:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Med andra ord, för att multiplicera ett reellt tal med en vektor måste du multiplicera det verkliga talet med var och en av dess koordinater.
Genom att multiplicera en vektor med ett reellt tal ökar vektorn storlek linjärt:
Observera att, i exemplet ovan, har vektor u koordinater (2.2) och vektor u · k har koordinater (4.4). Att lösa ekvationen (4.4) = k (2.2) kan vi dra slutsatsen att k = 2.
→ Lägga till vektorer
Med tanke på två vektorer u = (a, b) och v = (c, d), kommer summan mellan dem att erhållas genom uttrycket:
u + v = (a + c, b + d)
Med andra ord, lägg bara till motsvarande koordinater för varje vektor. Denna operation kan expanderas till summan av 3 eller fler vektorer med 3 eller fler dimensioner.
Geometriskt, med utgångspunkt från slutpunkten för vektorn u, dras en vektor v 'parallellt med vektorn v. Med utgångspunkt från vektor v ritas en vektor u 'parallellt med vektorn u. Dessa fyra vektorer bildar ett parallellogram. Vektorn u + v är följande diagonal för detta parallellogram:
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
För att subtrahera vektorer, betrakta subtraktion som summan av en vektor och motsatsen till en annan. För att till exempel subtrahera vektor v från vektor u, skriv: u - v = u + (-v). -V-vektorn är v-vektorn, men med koordinattecknen omvända.
När man tittar noga, operationerna "multiplicerar en vektor med ett tal" och "adderar vektorer" använda multiplikations - och additionsoperationer på reella tal, men på varje komponent i vektor. Därför gäller för vektorer att alla egenskaper för addition och multiplicering av reella tal är giltiga, nämligen:
Med tanke på vektorerna u, v och w och de verkliga siffrorna k och l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) det finns en vektor 0 = (0,0) så att v + 0 = v
iv) Det finns en vektor -v så att v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Standard för en vektor
Normen för en vektor är ekvivalent med storleken på ett reellt tal, det vill säga avståndet mellan en vektor och punkten (0,0) eller, beroende på referensramen, längden på vektorn.
Normen för vektorn v = (a, b) betecknas med || v || och kan beräknas med uttrycket:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Intern produkt
Den inre produkten är jämförbar med produkten mellan vektorerna. Observera att produkten som nämns ovan är produkten mellan en vektor och ett reellt tal. Nu är "produkten" i fråga mellan två vektorer. Man bör dock inte säga "produkt mellan två vektorer", utan snarare "intern produkt mellan två vektorer". Den inre produkten mellan vektorerna v = (a, b) och u = (c, d) betecknas med
Det är också vanligt att använda följande notation:
Observera att med hjälp av normen för vektorn v = (a, b) kan vi relatera normen och punktprodukten.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik
