den trigonometriska cirkeln är en cirkel med radie 1 representerad i Kartesiskt plan. I den är den horisontella axeln cosinusaxeln och den vertikala axeln är sinusaxeln. Det kan också kallas en trigonometrisk cykel.
Det används för att utföra studien av trigonometriska förhållanden. Med det är det möjligt att bättre förstå de viktigaste trigonometriska orsakerna till vinklar större än 180º, nämligen: sinus, cosinus och tangent.
Läs också: De 4 vanligaste misstagen i grundläggande trigonometri
Steg för steg för att bygga den trigonometriska cirkeln
För att konstruera den trigonometriska cirkeln, vi använder två axlar, en vertikal och en horisontell, som ett kartesiskt plan. Den horisontella axeln är känd som cosinusaxel, och den vertikala axeln är känd som sinusaxel.
Med axlarnas konstruktion, låt oss rita grafen för en cirkel som har radie 1.
Trigonometriska förhållanden i cirkeln
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
Vi använder cirkeln för att hitta värdet av sinus, cosinus och tangent, enligt vinkelvärdet. har in vertikal axel sinusvärdet och på den horisontella axeln cosinusvärdetgenom att bestämma en vinkel på den trigonometriska cirkeln är det möjligt att hitta värdet av sinus och cosinus genom att analysera koordinater för den punkt där linjesegmentet förbinder cirkelns centrum och omkretsen, representerad av P i bilden a Följ. Om vi drar tangentlinjen till cirkeln vid punkten (1.0), kan vi också beräkna tangenten för denna vinkel analytiskt enligt bilden:
Läs också: Vad är secant, cosecant och cotangent?
Trigonometrisk cirkelradianer
Vi vet att en båge kan mätas med två olika måttenheter: måttet i grader och måttet i radianer. Vi vet det omkretsen är 360º och att längden på din båge är 2π:
Kvadranter i den trigonometriska cirkeln
Oavsett om det är radianer eller grader är det möjligt att definiera kvadranten i vilken en viss båge är belägen enligt dess mätning.
När vi analyserar cykeln måste vi:
första kvadranten: vinklar som ligger mellan 0 till 90 ° eller 0 och π / 2 radianer;
andra kvadranten: vinklar som ligger mellan 90 ° och 180 ° eller π / 2 och π radianer;
tredje kvadranten: vinklar som ligger mellan 180 ° och 270 ° eller π och 3 π / 2 radianer;
fjärde kvadranten: vinklar som ligger mellan 270 ° och 360 ° eller 3π / 2 och 2π radianer.
Läs också: Planera egenskaper och egenskaper
Anmärkningsvärda vinklar i den trigonometriska cirkeln
I början av studien av trigonometri, lärde vi oss att de anmärkningsvärda vinklarna är vinklarna 30º, 45º och 60º, som har värdet av den kända sinus, cosinus och tangent. Men på grund av den trigonometriska cykelns symmetri, det är möjligt att hitta sinus- och cosinusvärdena för dessa vinklar och de symmetriska vinklarna till honom i vart och ett av kvadranten.
Trigonometriska cirkeltecken
För att förstå vad som är tecknet på var och en av de trigonometriska förhållandena i cykeln är det tillräckligt att analysera axelvärdena i det kartesiska planet.
Låt oss börja med cosinus. Eftersom det är den horisontella axeln är cosinus för vinklar som ingår till höger om den vertikala axeln positiv och cosinus för vinklar som ingår till vänster om den vertikala axeln är negativ.
För att förstå sinustecknet för en vinkel, kom bara ihåg att den vertikala axeln är sinusaxeln, så sinusen för en vinkel som ligger ovanför den horisontella axeln är positiv; men om vinkeln är under den horisontella axeln är sinus för denna vinkel negativ, som visas i följande bild:
Vi vet det tangenten är förhållandet mellan sinus och cosinus, för att hitta tecknet på tangenten för var och en av kvadranten, spelar vi teckenspelet, vilket gör tangenten positiv i udda kvadranten och negativ i de jämna kvadranten:
Läs också: Vad är semi-straight, semi-plane och semi-space?
symmetri i cirkeln
Analysera den trigonometriska cykeln, det är möjligt att konstruera ett sätt att minska sinus, cosinus och tangent till den första kvadranten. Denna minskning innebär att man i den första kvadranten hittar en vinkel som är symmetrisk med en vinkel hos de andra kvadranten, eftersom, när vi arbetar med en symmetrisk vinkel, är värdet på de trigonometriska förhållandena detsamma och ändrar bara dess signal.
Minskning av en vinkel som ligger i den andra kvadranten till den första kvadranten
Från och med vinklarna som finns i den andra kvadranten måste vi:
Som vi vet är sinus positiv i första och andra kvadranten. Så för att beräkna minskningen av sinus från andra kvadranten till första kvadranten använder vi formeln:
sin x = sin (180º - x)
Cosinus och tangens i andra kvadranten är negativa. För att minska cosinus från den andra kvadranten till den första kvadranten använder vi formeln:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Exempel:
Vad är värdet på sinus och cosinus i en vinkel på 120 °?
120 ° vinkeln är en kvadrant andra vinkel eftersom den är mellan 90 ° och 180 °. För att minska denna vinkel till första kvadranten beräknar vi:
sin 120 ° = sin (180 ° - 120 °)
sin 120º = sin 60º
60 ° -vinkeln är en anmärkningsvinkel, så dess sinusvärde är känt, så:
Låt oss nu beräkna din cosinus:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Som vi känner cosinus på 60º måste vi:
Minskning av en vinkel som ligger i den tredje kvadranten till den första kvadranten
Som i den andra kvadranten finns det symmetri mellan vinklarna i den tredje kvadranten och vinklarna i den första kvadranten.
Sinus och cosinus i den tredje kvadranten är negativa. Så, för att minska sinus och cosinus från den tredje kvadranten till den första kvadranten använder vi formeln:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Tangenten i den tredje kvadranten är positiv. För att minska det använder vi formeln:
tg x = tg (x - 180º)
Exempel:
Beräkna sinus, cosinus och tangent på 225º.
sin 225º = - sin (225º - 180º)
sin 225º = - sin 45º
Eftersom 45º är en anmärkningsvinkel, måste vi:
Nu, när vi beräknar cosinus, måste vi:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Vi vet att tg45º = 1, så:
tg 225º = 1
Minskning av en vinkel som ligger i fjärde kvadranten till första kvadranten
Med samma resonemang som tidigare minskningar, finns det en symmetri mellan fjärde och första kvadranten:
Sinus- och tangentvärdena i fjärde kvadranten är negativa. Så, för att göra minskningen från fjärde till första kvadranten använder vi formeln:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Kosinus i fjärde kvadranten är positiv. Så, för att minska till första kvadranten är formeln:
cos x = cos (360º - x)
Exempel:
Beräkna värdet av sinus och cosinus på 330º.
Börjar med sinus:
Beräknar nu cosinus:
Läs också: Hur beräknar man avståndet mellan två punkter i rymden?
Trigonometrisk cirkel löst övningar
fråga 1 - Under studien av det cirkulära ögonblicket analyserade en fysiker ett objekt som roterade runt sig själv och bildade en vinkel på 15.240º. Analyserar denna vinkel, är den båge som bildas av den i:
A) kvadrant I.
B) kvadrant II.
C) kvadrant III.
D) kvadrant IV.
E) ovanpå en av axlarna.
Upplösning
Alternativ B.
Vi vet att varje 360 ° detta objekt har slutfört en cirkel runt sig själv. När du utför division på 15 240 x 360 kommer vi att hitta hur många kompletta varv detta objekt har gjort runt sig själv, men vårt främsta intresse är resten, som representerar vinkeln i vilken det stannade.
15.240: 360 = 42,333…
Resultatet visar att han gjorde 42 varv runt sig själv, men 360 · 42 = 15,120, så han lämnade en vinkel på:
15.240 – 15.120 = 120º
Vi vet att 120 ° är en andra vinkel i kvadranten.
Fråga 2 - Vänligen bedöm följande uttalanden:
I → Vid beräkning av tg 140º blir värdet negativt.
II → Vinkeln på 200 ° är en vinkel på den andra kvadranten.
III → Sen 130º = sin 50º.
Markera rätt alternativ:
A) Endast jag är falsk.
B) Endast II är falskt.
C) Endast III är falskt.
D) Alla är sanna.
Upplösning
Alternativ B.
I → Sant, eftersom 140 º-vinkeln tillhör den andra kvadranten, där tangenten alltid är negativ.
II → Falsk, eftersom vinkeln 200 ° är en vinkel på den tredje kvadranten.
III → Sant, för att minska en vinkel från den andra till den första kvadranten, beräkna bara skillnaden på 180 ° - x, sedan:
sin 130 ° = sin (180 ° - 130 °)
synd 130 = synd 50: e
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
