beräkna faktoria av ett tal är bara meningsfullt när vi arbetar med naturliga tal. Denna operation är ganska vanlig i kombinatorisk analys, underlättar beräkningen av arrangemang, permutationer, kombinationer och andra problem med räkning. Faktoriet är representerad av symbolen “!”. Vi definierar det som n! (n faktor) till multiplicering av n med alla dess föregångare tills du når 1. Nej! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Läs också: Grundläggande räkningsprincip - huvudbegreppet för kombinatorisk analys
Vad är faktiskt?
Faktor är en mycket viktig operation för studier och utveckling av kombinatorisk analys. I matematik, antalet följt av utropssymbol (!) är känd som faktoria, till exempel x! (x faktor).
Vi vet att det är ett faktum för en naturligt nummer De multiplicera detta nummer med sina föregångare utom noll, dvs:
Nej! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Det är anmärkningsvärt att, för att denna operation ska vara meningsfull, n är ett naturligt tal, det vill säga, vi beräknar inte ett faktum för ett negativt tal eller till och med av ett decimaltal eller av bråk.
faktorberäkning
För att hitta ett faktors nummer, beräkna bara produkten. Observera också att faktoria är en operation som när öka värdet på n, kommer resultatet också att öka mycket.
Exempel:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Per definition har vi:
0! = 1
1! = 1
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
Fabriksoperationer
För att lösa faktiska operationer är det viktigt att vara försiktig så att du inte gör några misstag. När vi ska lägga till, subtrahera eller multiplicera två faktor är det nödvändigt att beräkna var och en av dem separat. Endast divisionen har specifika sätt att genomföra förenklingar. Gör inte misstaget att utföra operationen och behålla faktorn, antingen för addition och subtraktion eller för multiplikation.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
När vi löser någon av dessa operationer, måste vi beräkna var och en av de fakta.
Exempel:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Se också: Hur löser jag ekvation med faktoria?
Faktorisk förenkling
Uppdelningar är ganska återkommande. I formler av kombination, arrangemang och permutation med upprepning, kommer vi alltid att tillgripa förenkling för att lösa problem med faktoria. För det, låt oss följa några steg.
Exempel:
Första steget: identifiera det största av fabrikerna - i det här fallet är det 8! Nu analyserar vi nämnaren, som är 5!, låt oss skriva multiplikationen av 8 av dess föregångare tills vi kommer till 5 !.
Faktoriet för ett tal n, det vill säga n!, kan skrivas om som multiplikationen av n till k!. Således,
Nej! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, så låt oss skriva om 8! som multiplikationen från 8 till 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Så låt oss skriva om anledningen som:
2: a steget: efter att ha skrivit om anledning, är det möjligt att förenkla täljaren med nämnaren, eftersom 5! det finns i både täljaren och nämnaren. Efter förenkling är det bara att genomföra multiplikationen.
Exempel 2:
Kombinatorisk och faktoranalys
När du utför ytterligare studier i kombinationsanalys kommer faktum för ett nummer alltid att visas. Huvudgrupperna i kombinatorisk analys, som är permutation, kombination och arrangemang, använder ett tal i deras formler.
Permutation
DE permutation och den ordna om alla element i en uppsättning. För att beräkna en permutation tillgriper vi faktoria, eftersom permutationen av n-element beräknas av:
PNej = n!
Exempel:
Hur många anagram kan vi bygga med namnet HEITOR?
Detta är ett typiskt permutationsproblem. Eftersom det finns 6 bokstäver i namnet, beräknar du bara P för att beräkna antalet möjliga anagram6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Också tillgång: Permutation med upprepade element: hur man löser det?
Arrangemang
Beräkna arrangemang det kräver också att behärska ett nummer. Arrangemang, som permutation, är bildandet av en omordning. Skillnaden är, i arrangemanget ordnar vi om en del av uppsättningen, det vill säga vi vill veta hur många möjliga omordningar vi kan bilda genom att välja en kvantitet k av en uppsättning med n element.
Exempel:
I ett företag finns det 6 kandidater för att leda institutionen, och två kommer att väljas för positionerna som direktör och biträdande direktör. Att veta att de kommer att väljas genom omröstning, hur många möjliga resultat finns det?
I det här fallet beräknar vi arrangemanget av 6 taget från 2 till 2, eftersom det finns 6 kandidater för två lediga platser.
Kombination
I kombinationen, som i de andra, är det nödvändigt att behärska ett tals faktoria. Vi definierar som kombination du delmängder av en uppsättning. Skillnaden är att det i kombinationen inte finns någon omordning, för ordern är inte viktig. Så vi beräknar hur många delmängder med k-element vi kan bilda i en uppsättning n-element.
Exempel:
En kommitté bestående av 3 studenter kommer att väljas för att representera klassen. Att veta att det finns fem kandidater, hur många uppdrag kan bildas?
Läs också: Arrangemang eller kombination?
lösta övningar
Fråga 1 - Om faktorn för ett nummer, bedöm följande uttalanden.
I). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Endast jag är sant.
B) Endast II är sant.
C) Endast III är sant.
D) Endast I och II är sanna.
E) Endast II och II är sanna.
Upplösning
Alternativ A.
I) Sant.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Falskt.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Falskt.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Fråga 2 - (UFF) Är produkten 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 likvärdig med?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Upplösning
Alternativ D.
När vi tittar på produkten av alla jämna siffror från 2 till 20 vet vi att:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Så vi kan skriva om som 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
