Uppsättningen av primtal är föremål för studier i matematik från antika Grekland. Euclides diskuterade redan i sitt stora verk "The Elements" ämnet och lyckades visa att detta uppsättning det är oändligt. Som vi vet är primtalen de som har numret 1 som delare och själva, alltså att hitta mycket stora primtal är inte en lätt uppgift, och Eratosthenes sikt gör det enkelt. möte.
Hur vet du när ett tal är prime?
Vi vet att ett primtal är aden som har som delare siffran 1 och sig själv, så ett tal som i sin lista över delare har andra nummer än 1 och i sig inte kommer att vara primärt, se:
Genom att lista 11 och 30 avdelare har vi:
D (11) = {1, 11}
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Observera att siffran 11 bara har siffran 1 och sig själv som delare, så nummer 11 är ett primtal. Titta nu på delarna för numret 30, det har, förutom numret 1 och sig själv, siffrorna 2, 3, 5, 6 och 10 med delare. Därför, siffran 30 är inte primär.
→ Exempel: Lista primtal mindre än 15.
För detta listar vi delarna för alla siffror mellan 2 och 15.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
Primtal mindre än 15 är således:
2, 3, 5, 7, 11 och 13
Låt oss inse det, den här uppgiften skulle inte vara särskilt trevlig, till exempel om vi skulle skriva ner alla primtal mellan 2 och 100. För att undvika det kommer vi att lära oss att använda, i nästa ämne, Eratosthenes sikt.
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
Sikt av Eratosthenes
Sikten av Eratosthenes är en verktyg som syftar till att underlätta bestämningen av primtal. Sikten består av fyra steg, och för att förstå dem är det nödvändigt att tänka på delningskriterier. Innan vi börjar steg för steg måste vi skapa en tabell från siffran 2 till önskat nummer, eftersom siffran 1 inte är prim. Sedan:
→ Steg 1: Från delningskriteriet med 2 har vi att jämna siffror alla är delbara med det, det vill säga nummer 2 kommer att visas i listan över delare, så dessa siffror kommer inte att vara primära och vi måste utesluta dem från tabell. Är de:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Steg 2: Från kriteriet delbarhet med 3 vet vi att ett tal är delbart med 3 om belopp av dess siffror är det också. Således måste vi utesluta dessa siffror från tabellen, eftersom de inte är primära eftersom det finns ett annat nummer än 1 och sig själv i listan över delare. Så vi måste utesluta siffrorna:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Steg 3: Från kriteriet delbarhet med 5 vet vi att alla siffror som slutar på 0 eller 5 är delbara med 5, så vi måste utesluta dem från tabellen.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Steg 4: På samma sätt måste vi utesluta siffror som är multiplar av 7 från tabellen.
14, 21, 28, …, 546, …
- Vi känner till sikt från Eratosthenes, låt oss bestämma primtallarna mellan 2 och 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ är inte kusiner
→ primtal
Så primtalen mellan 2 och 100 är:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Läs också: MMC och MDC-beräkning: hur gör man det?
Nedbrytning av primärfaktor
DE sönderdelning av primärfaktor är formellt känd som grundläggande sats för aritmetik. Denna sats säger att någon heltal skiljer sig från 0 och större än 1 kan representeras av produkten av primtal. För att bestämma den fakturerade formen av ett heltal måste vi utföra successiva uppdelningar tills vi når resultatet lika med 1. Se exemplet:
→ Bestäm den fakturerade formen för siffrorna 8, 20 och 350.
För att faktorera talet 8 måste vi dela det med det första möjliga primtalet, i detta fall med 2. Sedan utför vi en annan uppdelning också med möjlig prim, denna process upprepas tills vi når nummer 1 som svar på uppdelningen. Se:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Därför är den fakturerade formen för siffran 2 · 2 · 2 = 23. För att underlätta denna process kommer vi att anta följande metod:
Därför kan siffran 8 skrivas som: 23.
→ För att faktorera talet 20 kommer vi att använda samma metod, det vill säga: dela det med primtal.
Siffran 20, i sin fakturerade form, är: 2 · 2 · 5 eller 22 · 5.
→ På samma sätt kommer vi att göra med siffran 350.
Därför är siffran 350 i sin fakturerade form: 2 · 5 · 5 · 7 eller 2 · 52 · 7.
Se också: Vetenskaplig notation: vad är det för?
lösta övningar
fråga 1 - Förenkla uttrycket:
Lösning
Låt oss först beräkna uttrycket för att göra det lättare.
Således är 1024 = 210, och därför kan vi ersätta varandra i övningsuttrycket. Således:
av Robson Luiz
Mattelärare
