Sanningstabell: vad det är, hur man gör det, övningar

Sanningstabell är ett logiskt instrument som innehåller alla logiska värden för en sammansatt proposition. Konstruktionen av en sanningstabell för en sammansatt proposition involverar de logiska värdena för de enkla propositionerna som utgör den och de logiska operationerna mellan dessa propositioner.

Läs också: När allt kommer omkring, vad är logik?

Sammanfattning av sanningstabellen

• En sanningstabell är ett instrument som används i matematisk logik för att ordna alla logiska värden i en sammansatt proposition.

• De huvudsakliga logiska operationerna i sanningstabellen är negation (~), konjunktion (˄), disjunktion (˅), villkorlig (→) och bivillkorlig (↔).

• För att konstruera en sanningstabell för en sammansatt proposition är det nödvändigt att använda sanningstabellerna för grundläggande logiska operationer.

Vad är sanningstabellen?

Överväga P Det är q enkla satser, det vill säga meningar som kan tilldelas ett av följande logiska värden: sant (V) eller falskt (F). En sammansatt proposition bildad genom operationer mellan

P Det är q är också en mening som kan vara sann eller falsk. Det logiska värdet av denna sammansatta proposition beror på de logiska värdena som tilldelats P Det är q och operationen/operationerna mellan dem.

Sanningstabellen är en tabell som presenterar alla logiska värdemöjligheter för den sammansatta propositionen baserat på de logiska värdena av P Det är q.

I den här texten kommer vi att använda bokstaven V för att indikera det sanna logiska värdet av en proposition och bokstaven F för att indikera det falska logiska värdet.

Sanningstabellens huvudsakliga kopplingar

Logiska kopplingar (eller operatörer) är symboler eller ord förknippade med operationer som kopplar samman ett enkelt påstående med ett annat enkelt påstående att ta fram ett sammansatt förslag.

Det finns fem huvudanslutningar, vars funktion, symbol och betydelse anges i tabellen nedan.

Drift	Symbol	Menande
Avslag	~	Nej
Samband	˄	Det är
Åtskiljande	˅	eller
Villkorlig	→	om... sedan
Bivillkorlig	↔	om och endast om

Hur man läser:

• ~ P - "Nej P”

• P ˄ q — “P Det är q”

• P ˅ q — “P eller q”

• P→q - "om P sedan q”

• P↔q — “P om och endast om q”

Observation: Det bivillkorliga är resultatet av den villkorliga operationen i båda riktningarna, det vill säga P↔q betyder P→q Det är q→P.

Hur fungerar sanningstabellen?

Den första raden i sanningstabellen indikerar alla propositioner vars logiska värden vi vill analysera, förutom de respektive operationerna mellan dem. Varje rad i sanningstabellen presenterar förhållandet mellan de logiska värdena för propositionerna på den första raden.

För att konstruera en sanningstabell för en sammansatt proposition är det nödvändigt att känna till sanningstabellerna för de grundläggande operationerna, som härrör från de huvudsakliga logiska kopplingarna. Låt oss se vad dessa sanningstabeller är, erhållna av reglerna för propositionskalkyl.

• Sanningstabell för förnekande

Givet ett enkelt förslag P, det logiska värdet av propositionen ~ P är motsatsen till det logiska värdet av P. Så om P Det är sant ~ P är falsk; och om P Det är falskt ~ P det är sant.

P	~sid
V	F
F	V

• Konjunktion sanningstabell

Med tanke på förslagen P Det är q, det logiska värdet av propositionen P ˄ q är sant endast när båda påståendena är sanna.

P	q	därför att
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

• Disjunktion sanningstabell

Med tanke på förslagen P Det är q, det logiska värdet av propositionen P ˅ q är sant när minst ett av påståendena är sant.

P	q	därför att
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

• Villkorlig sanningstabell

Med tanke på förslagen P Det är q, det logiska värdet av propositionen P→q är falskt när P är sant och q är falskt och är sant i andra fall.

P	q	p →q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

• Bivillkorlig sanningstabell

Med tanke på förslagen P Det är q, det logiska värdet av propositionen P↔q är sant endast när båda påståendena är sanna eller båda är falska.

P	q	P ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Konstruktion av sanningsbordet

Baserat på sanningstabellerna för grundläggande operationer kan vi konstruera sanningstabeller för alla sammansatta påståenden. För det vi måste identifiera de inblandade propositionerna och utföra operationerna enligt sanningstabellerna i föregående ämne.

Observation: Antalet rader i en sanningstabell för en sammansatt proposition bildad av n enkla förslag är 2ⁿ.

Exempel: Konstruera sanningstabellen för påståendet ~ (P ˄ q).

Vi kommer att använda en sanningstabell med fyra kolumner: en för propositionen P, en för förslaget q, en för förslaget P ˄ q, och den sista för den slutliga propositionen, som är ~ (P ˄ q).

P

q

därför att

~ (p ˄ q)

Vi kan fylla de tre första kolumnerna i denna tabell med information från sanningstabellen för konjunktionsoperationen.

P	q	därför att	~ (p ˄ q)
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Slutligen är den fjärde kolumnen negationen av varje logiskt värde i den tredje kolumnen.

P	q	därför att	~ (p ˄ q)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Läs också: Hur Aristoteles logik fungerar

Sanningstabellövningar

Fråga 1

Bygg sanningstabellen för förslaget ~ (P ˄ ~ q).

Upplösning

Vi kommer att använda en sanningstabell med fem kolumner: en för propositionen P, en för förslaget q, en för förslaget ~ q, en för förslaget P ˄ ~ q, och den sista för det slutliga förslaget, ~ (P ˄ ~ q).

P

q

~q

p ˄ ~ q

~ (p ˄ ~ q)

Nu är det bara att fylla i varje kolumn och utföra respektive operationer:

P	q	~q	p ˄ ~ q	~ (p ˄ ~ q)
V	V	F	F	V
V	F	V	V	F
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V

fråga 2

Konstruera sanningstabellen för propositionen ~ P ˅ q → ~ q.

Upplösning

Vi kommer att använda en sanningstabell med sex kolumner: en för propositionen P, en för förslaget q, en för förslaget ~ P, en för förslaget ~ q, en för förslaget ~ P ˅ q, och den sista för slutförslaget, ~ P ˅ q → ~ q.

P

q

~sid

~q

~ p˅ q

~ p˅ q → ~q

Nu är det bara att fylla i varje kolumn och utföra respektive operationer:

P	q	~sid	~q	~ p˅ q	~ p˅ q → ~q
V	V	F	F	F	V
V	F	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F
F	F	V	V	F	V

Källor

ALENCAR FILHO, E. i. Introduktion till matematisk logik. São Paulo: Nobel, 2002.

VAZ, R. M. Formalisering av logiska resonemang utifrån matematisk logik. Avhandling (Professional Master's Degree in Mathematics) – Federal University of Mato Grosso do Sul, Três Lagoas, 2014. Tillgänglig i https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/2333 .

Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tabela-verdade.htm