Till operationer med uppsättningar de är förening, skärningspunkt och skillnad. Resultatet av var och en av dessa operationer är en ny uppsättning. För att indikera föreningen mellan mängder använder vi symbolen ∪; för korsningen, symbolen ∩; och för skillnaden, symbolen för subtraktion\(-\). Vid en skillnad är det viktigt att observera i vilken ordning operationen kommer att utföras. Med andra ord, om A och B är mängder, så skiljer sig skillnaden mellan A och B från skillnaden mellan B och A.
Läs också: Venndiagram — geometrisk representation av mängder och operationer mellan dem
Sammanfattning av operationer med set
Operationer med uppsättningar är: union, skärningspunkt och skillnad.
Unionen (eller mötet) av mängderna A och B är mängden A ∪ B, bildad av de element som tillhör A eller tillhör B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ eller\ x∈B\}\)
Skärningspunkten mellan mängderna A och B är mängden A ∩ B, bildad av de element som hör till A och tillhör B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ och\ x∈B\}\)
Skillnaden mellan mängderna A och B är mängden A – B, bildad av de element som tillhör A och inte tillhör B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Om U (känd som universummängden) är en mängd som innehåller alla mängder i ett givet sammanhang, så kallas skillnaden U – A, med A ⊂ U, komplementet till A. Komplementet av A bildas av element som inte tillhör A och representeras av Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Videolektion om operationer med set
Vilka är de tre operationerna med set?
De tre operationerna med set är: förening, skärningspunkt och skillnad.
Union av uppsättningar
Unionen (eller mötet) av uppsättningarna A och B är uppsättningen A ∪ B (läs "Facket B"). Denna uppsättning består av alla element som hör till uppsättning A eller tillhör mängden B, det vill säga element som tillhör minst en av uppsättningarna.
Genom att representera elementen i A ∪ B med x, skriver vi
\(A∪B=\{x; x∈A\ eller\ x∈B\}\)
På bilden nedan är den orange regionen uppsättning A ∪B.
Det verkar svårt? Låt oss titta på två exempel!
Exempel 1:
Vad är mängden A ∪ B, om A = {7, 8} och B = {12, 15}?
Mängden A ∪ B bildas av de element som hör till A eller tillhör B. Eftersom element 7 och 8 tillhör mängden A, måste båda tillhöra mängden A ∪ B. Dessutom, eftersom elementen 12 och 15 tillhör mängden B, måste båda tillhöra mängden A ∪ B.
Därför,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Observera att vart och ett av elementen i A∪B tillhör antingen mängd A eller mängd B.
Exempel 2:
Betrakta mängderna A = {2, 5, 9} och B = {1, 9}. Vad är mängden A ∪ B?
Eftersom element 2, 5 och 9 tillhör mängden A, så måste de alla tillhöra mängden A∪B. Dessutom, eftersom element 1 och 9 tillhör mängden B, måste de alla tillhöra mängden A ∪ B.
Observera att vi nämnde 9 två gånger, eftersom detta element hör till set A och set B. Att säga att "mängden A ∪ B bildas av de element som tillhör A eller tillhör B” utesluter inte element som samtidigt tillhör uppsättningarna A och B.
Så i det här exemplet har vi
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Observera att vi bara skriver element 9 en gång.
Skärning av uppsättningar
Skärningspunkten mellan mängderna A och B är mängden A ∩ B (läs "Skärningspunkten B"). Denna uppsättning består av alla element som hör till uppsättning A Det är tillhör uppsättning B. Med andra ord, A ∩ B är sammansatt av de gemensamma elementen i uppsättningarna A och B.
När vi anger elementen i A ∩ B med x, skriver vi
\(A∩B=\{x; x∈A\ och\ x∈B\}\)
På bilden nedan är den orange regionen uppsättning A ∩B.
Låt oss lösa två exempel om skärningspunkten mellan mängder!
Exempel 1:
Betrakta A = {-1, 6, 13} och B = {0, 1, 6, 13}. Vad är mängden A ∩ B?
Mängden A ∩ B bildas av alla element som hör till mängden A Det är tillhör uppsättning B. Observera att element 6 och 13 samtidigt tillhör uppsättningarna A och B.
Så här,
A ∩ B={6, 13}
Exempel 2:
Vad är skärningspunkten mellan mängderna A = {0,4} och \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Observera att det inte finns något gemensamt element mellan uppsättningarna A och B. Således är skärningspunkten en uppsättning utan element, det vill säga en tom uppsättning.
Därför,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Skillnad mellan set
Skillnaden mellan mängderna A och B är mängden A – B (läs "skillnaden mellan A och B"). Detta set består av alla element som hör till mängd A och inte tillhör mängd B.
Genom att porträttera elementen i A – B med x, skriver vi
\(A-B=\{x; x∈A\ och\ x∉B\}\)
På bilden nedan är den orange regionen setA – B.
Uppmärksamhet: skillnaden mellan mängderna A och B är inte skillnaden mellan mängderna B och A, eftersom B – A bildas av alla de element som hör till mängden B och inte tillhör mängden A.
Betrakta de två exemplen nedan om skillnader mellan uppsättningar.
Exempel 1:
Om A = {-7, 2, 100} och B = {2, 50}, vad är då mängden A – B? Hur är det med uppsättningen B – A?
UppsättningenA-B består av alla element som hör till mängden A Det ärNej tillhör uppsättning B. Observera att 2 är det enda elementet i mängd A som också hör till mängd B. 2 hör alltså inte till mängden A – B.
Därför,
A – B = {-7, 100}
Dessutom bildas mängden B – A av alla de element som hör till mängden B Det ärNej tillhör uppsättning A. Därför,
B – A = {50}
Exempel 2:
Vad är skillnaden mellan mängden A = {–4, 0} och mängden B = {–3}?
Observera att inget av elementen i A tillhör B. Således är skillnaden A – B själva mängden A.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Observation: Tänk på att U (kallad universummängden) är en mängd som innehåller alla andra mängder i en given situation. Så här, skillnaden U–A, med A⊂U, är en uppsättning som kallas komplementär till A och porträtteras som \(FÖRE KRISTUS\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
I följande bild är rektangeln universummängden och den orangea regionen är universummängden \(FÖRE KRISTUS\).
Veta mer: Steg för steg hur man gör en division
Lösta övningar på uppsättningsoperationer
Fråga 1
Betrakta mängderna A = {–12, –5, 3} och B = {–10, 0, 3, 7} och klassificera varje påstående nedan som T (sant) eller F (falskt).
jag. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Rätt ordning, uppifrån och ner, är
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Upplösning
jag. Falsk.
Element 0 måste tillhöra föreningen av A och B, eftersom 0 ∈ B. Alltså, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Sann.
III. Sann.
Alternativ B.
fråga 2
Betrakta A = {4, 5}, B = {6,7} och C = {7,8}. Då är mängden A ∪ B ∩ C
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Upplösning
Observera att A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Därför är mängden A ∪ B ∩ C skärningspunkten mellan A ∪ B = {4, 5, 6, 7} och C = {7,8}. Snart,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativ A.
Källor
LIMA, Elon L.. Analyskurs. 7 uppl. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Gymnasiets matematik. 11. ed. Matematiklärarsamling. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
