A rota Det är en matematisk operation, precis som addition, subtraktion, multiplikation, division och potentiering. På samma sätt som subtraktion är den inversa operationen av addition och division är inversen av multiplikationen, är strålning potentieringens inversa operation. Således, för reella positiva x och y och heltal n (större än eller lika med 2), om x upphöjt till n är lika med y, kan vi säga att den n: te roten av y är lika med x. I matematisk notation: \(x^n=y\Högerpil\sqrt[n]{y}=x\).
Läs också:Potentiering och strålning av fraktioner — hur gör man?
Sammanfattning om rotning
Rootifiering är en matematisk operation.
Strålning och potentiering är omvända operationer, det vill säga för positiva x och y, \(x^n=y\Högerpil\sqrt[n]{y}=x\).
Att beräkna den n: te roten av ett tal y innebär att hitta talet x så att x upphöjt till n är lika med y.
Att läsa en rot beror på index n. Om n = 2 kallar vi det kvadratroten och om n = 3 kallar vi det kubroten.
I operationer med radikaler använder vi termer med samma index.
Strålning har viktiga egenskaper som underlättar dess beräkning.
Videolektion om rooting
Representation av en rot
För att representera en rota, vi måste överväga de tre inblandade elementen: radicand, index och root. Symbolen \(√\) kallas radikal.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
I det här exemplet, y är radikanden, n är indexet och x är roten. Det står "n: te roten av y är x". Medan x och y representerar positiva reella tal, representerar n ett heltal lika med eller större än 2. Det är viktigt att notera att för n = 2 kan indexet utelämnas. Så t.ex. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Vi kan representera en strålning genom att använda radikanden med en bråkdelsexponent. Formellt säger vi att den n: te roten av \(y^m\) kan skrivas som y upphöjt till bråkexponenten \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Se exemplen:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Skillnader mellan strålning och potentiering
Potentiering och strålning är omvända matematiska operationer. Detta betyder att om \(x^n=y\), då \(\sqrt[n]{y}=x\). Det verkar svårt? Låt oss titta på några exempel.
Om \(3^2=9\), då \(\sqrt[2]{9}=3\).
Om \(2^3=8\), då \(\sqrt[3]{8}=2\).
Om \(5^4=625\), då \(\sqrt[4]{625}=5\).
Hur läser man en rot?
För att läsa en rot, vi måste ta hänsyn till indexet n. Om n = 2, vi kallar det kvadratroten. Om n = 3, kallar vi det kubroten. För värden på n större använder vi nomenklaturen för ordningstal: fjärde roten (om n = 4), femte roten (om n = 5) och så vidare. Se några exempel:
\(\sqrt[2]{9}\) – kvadratroten ur 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – kubrot av 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – fjärde roten av 625.
Hur räknar man ut roten till ett tal?
Vi kommer att se nedan hur man beräknar roten av ett positivt reellt tal. Att beräkna roten till ett talmåste vi överväga den relaterade inversa operationen. Det vill säga, om vi letar efter den n: te roten av ett tal y, måste vi leta efter ett tal x så att \(x^n=y\).
Beroende på värdet av y (det vill säga radikanden) kan denna process vara enkel eller mödosam. Låt oss titta på några exempel på hur man beräknar roten till ett tal.
Exempel 1:
Vad är kvadratroten av 144?
Upplösning:
Låt oss ringa numret vi letar efter x, dvs. \(\sqrt{144}=x\). Observera att detta betyder att leta efter ett nummer x så att \(x^2=144\). Låt oss testa några möjligheter med naturliga tal:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Därför, \(\sqrt{144}=12\).
Exempel 2:
Vad är kubroten av 100?
Upplösning:
Låt oss ringa numret vi letar efter x, dvs. \(\sqrt[3]{100}=x\). Detta innebär att \(x^3=100\). Låt oss testa några möjligheter:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Observera att vi letar efter ett tal som är mellan 4 och 5, som \(4^3=64\) Det är \(5^3=125\). Så låt oss testa några möjligheter med siffror mellan 4 och 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Som \(4,6^3 \) är ett tal nära och mindre än 100, kan vi säga att 4,6 är en approximation till kubroten av 100. Därför, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Viktig:När roten är ett rationellt tal säger vi att roten är exakt; annars är roten inte exakt. I exemplet ovan bestämmer vi ett intervall mellan exakta rötter där den sökta roten finns:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Denna strategi är mycket användbar för att beräkna approximationer av en rot.
Operationer med radikaler
I operationer med radikaler använder vi termer med samma index. Med tanke på detta, läs följande information noggrant.
→ Addition och subtraktion mellan radikaler
För att lösa en addition eller subtraktion mellan radikaler måste vi beräkna roten av varje radikal separat.
Exempel:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Viktig: Det är inte möjligt att använda radikaler i additions- och subtraktionsoperationer. Observera att till exempel operationen \(\sqrt4+\sqrt9\) resulterar i ett annat antal \(\sqrt{13}\), även om \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Multiplikation och division mellan radikaler
För att lösa en multiplikation eller division mellan radikaler kan vi beräkna roten av varje radikal separat, men vi kan också använda strålningsegenskaperna, som vi kommer att se nedan.
Exempel:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Vilka egenskaper har strålning?
→ Egenskap 1 av strålning
Om y är ett positivt tal, då den n: te roten av \(y^n\) är lika med y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Se exemplet:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Denna egenskap används ofta för att förenkla uttryck med radikaler.
→ Egenskap 2 av strålning
Den n: te roten av produkten \(y⋅z\) är lika med produkten av de n: te rötterna av y och z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Se exemplet:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Viktig: När vi beräknar roten till ett stort tal är det mycket användbart faktor (dekomponera) radikanden till primtal och tillämpa egenskaperna 1 och 2. Se följande exempel, där vi vill räkna \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Så här,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Fastighet 3av rota
Den n: te roten av kvoten \(\frac{y}z\), med \(z≠0\), är lika med kvoten av de n: te rötterna av y och z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Se exemplet:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Egenskap 4 av strålning
Den n: te roten av y upphöjd till en exponent m är lika med den n: te roten av \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Se exemplet:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Se också: Vilka egenskaper har potentiering?
Lösta övningar om strålning
Fråga 1
(FGV) Förenkling \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), du får:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Upplösning:
Alternativ C.
Observera att vi använder strålningsegenskaperna
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Således kan vi skriva om uttrycket för påståendet som
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Att sätta termen \(\sqrt3\) bevis, vi drar slutsatsen att
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
fråga 2
(Cefet) Med vilket tal ska vi multiplicera talet 0,75 så att kvadratroten av den erhållna produkten är lika med 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Upplösning:
Alternativ A.
Antalet som söks är x. Sålunda, enligt uttalandet,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Därför,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
