A sfärisk mössa och den geometrisk solid erhålls när en sfär fångas upp av ett plan, som delar den i två geometriska fasta ämnen. Den sfäriska hatten anses vara en rund kropp eftersom den, liksom sfären, har en rundad form. För att beräkna arean och volymen av ett sfäriskt lock använder vi specifika formler.
Läs också: Konens stam — den geometriska fasta delen som bildas av konens botten när en sektion parallell med basen görs
Sammanfattning om sfärisk mössa
- Det sfäriska locket är ett geometriskt fast ämne som erhålls när sfären delas av ett plan.
- Huvudelementen i den sfäriska kåpan är sfärens radie, den sfäriska kåpans radie och höjden på den sfäriska kåpan.
- Den sfäriska hatten är inte en polyeder, utan en rund kropp.
- Om planet delar sfären på mitten, bildar den sfäriska hatten en halvklot.
- Det är möjligt att beräkna radien för det sfäriska locket med hjälp av Pythagoras sats, organiserad enligt följande:
\(\vänster (R-h\höger)^2+r^2=R^2\)
- Arean av det sfäriska locket kan beräknas med formeln:
\(A=2\pi rh\ \)
- Volymen på det sfäriska locket kan beräknas med följande formel:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Vad är en sfärisk mössa?
sfärisk mössa är den geometriska fasta delen som erhålls när en sektion av boll allmänning platt. När vi skär sfären med ett plan delar vi denna sfär i två sfäriska lock. När vi delar sfären på mitten kallas det sfäriska locket halvklotet.
Sfäriska lockelement
I en sfärisk kåpa är huvudelementen sfärens radie, den sfäriska kåpans radie och höjden på den sfäriska kåpan.
- R → sfärens radie.
- r → radien för den sfäriska kåpan.
- h → höjden på den sfäriska hatten.
Är den sfäriska hatten en polyeder eller en rund kropp?
Vi kan se att locket är en geometrisk solid. Eftersom den har en cirkulär bas och en rundad yta, den sfäriska hatten anses vara en rund kropp, som också är känt som revolutionens solid. Det är värt att nämna att polyeder har ansikten bildade av polygoner, vilket inte är fallet med den sfäriska hatten, som har en bas bildad av en cirkel.
Hur beräknar man radien på det sfäriska locket?
För att beräkna radielängden på det sfäriska locket, det är nödvändigt att känna till längden på höjden h på det sfäriska locket och längden på sfärens radie R, eftersom det, som vi kan se i följande bild, finns ett pytagoreiskt förhållande.
Observera att vi har en rät triangel, triangeln OO’B, med hypotenusan som mäter R och benen som mäter R – h och r. Att tillämpa Pythagoras sats, Vi måste:
\(\vänster (R-h\höger)^2+r^2=R^2\)
Exempel:
Vad är radien för en sfärisk mössa som har en höjd av 2 cm, givet att sfärens radie är 5 cm?
Upplösning:
Tillämpa den pythagoriska relationen:
\(\vänster (R-h\höger)^2+r^2=R^2\)
\(\vänster (5-2\höger)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Hur beräknar man arean på den sfäriska hatten?
För att beräkna arean av det sfäriska locket, det är nödvändigt att känna till måttet på längden på sfärens radie R och höjden h på locket. Formeln som används för att beräkna ytan är:
\(A=2\pi Rh\)
- R → sfärens radie.
- h → höjden på den sfäriska hatten.
Exempel:
Ett sfäriskt lock erhölls från en sfär som har en radie på 6 cm och en höjd av 4 cm. Så vad är ytan på denna sfäriska mössa?
Upplösning:
När vi beräknar arean på det sfäriska locket har vi:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Hur beräknar man volymen på det sfäriska locket?
Volymen på det sfäriska locket kan beräknas på två sätt. Den första formeln beror på sfärens radie R och höjden h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\vänster (3 R-h\höger)\)
Exempel:
Vad är volymen på en sfärisk kåpa som erhålls från en sfär med en radie på 8 cm vars höjd på den sfäriska hatten är 6 cm?
Upplösning:
Eftersom vi känner till värdet på R och h kommer vi att använda den första formeln.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\vänster (3 R-h\höger)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\vänster (24-6\höger)\)
\(V=12\pi\vänster (18\höger)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Den andra formeln för volym för sfäriska lock tar hänsyn till den sfäriska lockets radie r och lockets höjd h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\vänster (3r^2+h^2\höger)\)
Exempel:
Vad är volymen på en sfärisk mössa som har en radie på 10 cm och en höjd på 4 cm?
Upplösning:
I det här fallet har vi r = 10 cm och h = 4 cm. Eftersom vi känner till värdet på radien på den sfäriska hatten och höjden kommer vi att använda den andra formeln:
\(V=\frac{\pi h}{6}\vänster (3r^2+h^2\höger)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\vänster (3{\cdot10}^2+4^2\höger)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\vänster (3\cdot100+16\höger)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\vänster (300+16\höger)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\approx210.7\ \pi\ cm³\)
Se också: Pyramidstammen — den geometriska fasta delen som bildas av botten av pyramiden när ett tvärsnitt tas
Lösta övningar på sfärisk mössa
fråga 1
(Enem) För att dekorera ett barnkalasbord kommer en kock att använda en sfärisk melon med en diameter på 10 cm, som kommer att fungera som ett stöd för att spett olika sötsaker. Han kommer att ta bort ett sfäriskt lock från melonen, som visas i figuren, och för att garantera stabiliteten hos detta stöd, vilket gör det svårt för melonen att rulla över bordet, kommer kocken att skära så att radien r för den cirkulärt skurna delen är minst minus 3 cm. Däremot kommer chefen att vilja ha så mycket yta som möjligt i regionen där godiset ska läggas ut.
För att uppnå alla sina mål måste kocken skära toppen av melonen på en höjd h, i centimeter, lika med
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Upplösning:
Alternativ C
Vi vet att sfärens diameter är 10 cm, så dess radie är 5 cm, så OB = 5 cm.
Om sektionens radie är exakt 3 cm har vi:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Därför:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
fråga 2
En sfärisk mössa har en area på 144π cm². Att veta att den har en radie på 9 cm är höjden på denna sfäriska hatt:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Upplösning:
Alternativ A
Vi vet det:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Höjden är 8 cm.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm
