Summakub och skillnadskub är två typer av anmärkningsvärda produkter, där två termer läggs till eller subtraheras och sedan kuberas, det vill säga med en exponent lika med 3.
(x + y) ³ -> summakub
se mer
Studenter från Rio de Janeiro kommer att tävla om medaljer vid OS...
Matematikinstitutet är öppet för anmälan till OS...
(x – y) ³ -> kub av skillnad
Summakuben kan också skrivas som (x+y). (x+y). (x + y) och kuben av skillnaden som (x – y). (x – y). (x - y).
Dessa produkter får namnet på anmärkningsvärda produkter för den betydelse de har, eftersom de förekommer ofta i algebraiska beräkningar.
Kom nu ihåg att i matematik kan samma uttryck skrivas på ett annat sätt, men utan att ändra dess värde. Till exempel kan x + 1 + 1 enkelt skrivas som x + 2.
När vi skriver om ett uttryck kan vi ofta förenkla och lösa många algebraiska problem. Låt oss därför se ett annat sätt att skriva summans kub och skillnadens kub och utveckla dem algebraiskt.
summakub
O summakub är den anmärkningsvärda produkten (x + y) ³, vilket är samma som (x + y). (x+y). (x+y). På så sätt kan vi skriva:
(x + y) 3 = (x + y). (x+y). (x + y)
Nu med tanke på det (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², kuben av summan kan skrivas som:
(x + y) 3 = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Multiplicera polynomet (x + y) med (x² + 2xy + y²), kan vi se att:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Lägger vi till liknande termer, har vi att kuben av summan ges av:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Exempel:
Utveckla varje kub algebraiskt:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) 3
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
skillnadskub
O skillnadskub är den anmärkningsvärda produkten (x – y) ³, vilket är samma som (x – y). (x – y). (x – y). Så vi måste:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Gilla (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², kuben för skillnaden kan skrivas som:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Om vi multiplicerar (x – y) med (x² – 2xy + y²), kan vi se att:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Om vi lägger till liknande termer har vi att kuben för skillnaden ges av:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Exempel:
Utveckla varje kub algebraiskt:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
Du kanske också är intresserad:
- Algebraisk uttrycksfaktorisering
- Algebraisk beräkning som involverar monomialer
- algebraiska bråk