Vid lösning av andra gradens ekvation x2 - 6x + 9 = 0, vi hittar två rötter lika med 3. Med hjälp av sönderdelningssatsen faktoriserar vi polynomet och får:
x2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
I det här fallet säger vi att 3 är roten till multiplicitet 2 eller dubbelrot av ekvationen.
Således, om ett faktorerat polynom resulterar i följande uttryck:
Vi kan säga så:
x = -5 är rot med multiplicitet 3 eller trippelrot av ekvationen p (x) = 0
x = -4 är rot med multiplicitet 2 eller dubbelrot av ekvationen p (x) = 0
x = 2 är rot med multiplicitet 1 eller enkel rot av ekvationen p (x) = 0
Generellt säger vi att r är en rot av multiplicitet n, med n ≥ 1, av ekvationen p (x) = 0, om:
Observera att p (x) är delbart med (x - r)m och att villkoret q (r) ≠ 0 betyder att r inte är en rot till q (x) och garanterar att rotens multiplicitet inte är större än m.
Exempel 1. Lös x-ekvationen4 - 9x3 + 23x2 - 3x - 36 = 0, givet att 3 är en dubbel rot.
Lösning: Betrakta p (x) som det angivna polynomet. Således:
Observera att q (x) erhålls genom att dela p (x) med (x - 3)2.
Genom att dela med Briot-Ruffinis praktiska anordning får vi:
Efter att ha uppdelat ser vi att koefficienterna för polynom q (x) är 1, -3 och -4. Således blir q (x) = 0: x2 - 3x - 4 = 0
Låt oss lösa ekvationen ovan för att bestämma de andra rötterna.
x2 - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 eller x = 4
Därför är S = {-1, 3, 4}
Exempel 2. Skriv en algebraisk ekvation av minsta grad så att 2 är en dubbelrot och - 1 är en enda rot.
Lösning: Vi måste:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Eller
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
Av Marcelo Rigonatto
Specialist inom statistik och matematisk modellering
Brasilien skollag
Polynom - Matematik - Brasilien skola
Vill du hänvisa till texten i en skola eller ett akademiskt arbete? Se:
RIGONATTO, Marcelo. "Multipel av en rot"; Brasilien skola. Tillgänglig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm. Åtkomst 29 juni 2021.
