Lösta linjära systemövningar

Öva dina kunskaper om linjära system, ett viktigt matematikämne som involverar studier av samtidiga ekvationer. Med många praktiska tillämpningar används de för att lösa problem som involverar olika variabler.

Alla frågor löses steg för steg, där vi kommer att använda olika metoder, såsom: substitution, addition, eliminering, skalning och Cramers regel.

Fråga 1 (ersättningsmetod)

Bestäm det ordnade paret som löser följande linjära ekvationssystem.

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänsterslut attribut rad med cell med 3 raka x minus 2 rak y är lika med 1 ände av cellrad med cell med 6 raka x minus 4 raka y är lika med 7 ände av cellände av tabell stänga

Se Svar

Svar: öppna parentes 3 över 4 kommatecken 5 över 8 stäng parentes

Isolera x i den första ekvationen:

3 raka x minus 2 raka y är lika med 1 3 raka x är lika med 1 plus 2 raka y raka x lika med täljare 1 plus 2 raka y över nämnare 3 bråkslut

Ersätter x i den andra ekvationen:

6 öppna parenteser täljare 1 plus 2 rak y över nämnare 3 bråkslut slut parentes plus 4 raka y är lika med 7 täljare 6 plus 12 rak y över nämnare 3 bråkslut plus 4 rakt y är lika med 7 täljare 6 plus 12 rakt y över nämnare 3 bråkslut plus täljare 3,4 rakt y över nämnare 3 bråkslut lika med 7 täljare 6 plus 12 rak y plus 12 rak y över nämnare 3 bråkslut lika med 7 täljare 6 plus 24 rak y över nämnare 3 slut av bråkdelen är lika med 7 6 plus 24 rak y är lika med 7,3 6 plus 24 rak y är lika med 21 24 rak y är lika med 21 minus 6 24 rak y är lika med 15 rak y är lika med 15 över 24 lika med till 5 över 8

Ersätter värdet av y i den första ekvationen.

3 x minus 2 y är lika med 1 3 x minus 2 5 över 8 är lika med 1 3 x minus 10 över 8 är lika med 1 3 x är lika med 1 plus 10 över 8 3 x är lika med 8 över 8 plus 10 över 8 3 x är lika med 18 över 8 x är lika med täljare 18 över nämnare 8,3 slutet av bråket x är lika med 18 över 24 är lika med 3 över 4

Så det ordnade paret som löser systemet är:
öppna parentes 3 över 4 kommatecken 5 över 8 stäng parentes

Fråga 2 (skalningsmetod)

Lösningen till följande linjära ekvationssystem är:

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänster ände av attribut rad med cell med rak x minus rak y plus rak z är lika med 6 slutet av cellrad med cell med mellanslag 2 rak y plus 3 rak z är lika med 8 i slutet av cellraden med cell med mellanslag mellanslag mellanrum mellanrum mellanrum mellanrum mellanrum mellanrum mellanrum mellanrum mellanrum 4 rakt z är lika med 8 slutet av celländen av tabell stänga

Se Svar

Svar: x = 5, y = 1, z = 2

Systemet är redan i echelonform. Den tredje ekvationen har två nollkoefficienter (y = 0 och x = 0), den andra ekvationen har en nollkoefficient (x = 0), och den tredje ekvationen har inga nollkoefficienter.

I ett echelonsystem löser vi "från botten till topp", det vill säga vi börjar med den tredje ekvationen.

instagram story viewer

4 z är lika med 8 z är lika med 8 över 4 är lika med 2

När vi flyttar till den översta ekvationen, ersätter vi z = 2.

2 raka y plus 3 raka z är lika med 8 2 raka y plus 3,2 är lika med 8 2 raka y plus 6 är lika med 8 2 raka y är lika med 8 minus 6 2 raka y är lika med 2 raka y är lika med 2 över 2 är lika med 1

Slutligen ersätter vi z = 2 och y = 1 i den första ekvationen, för att få x.

rak x minus rak y plus rak z är lika med 6 rak x minus 1 plus 2 är lika med 6 rak x plus 1 är lika med 6 rak x är lika med 6 minus 1 rak x är lika med 5

Lösning

x = 5, y = 1, z = 2

Fråga 3 (Cramers regel eller metod)

Lös följande linjära ekvationssystem:

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänsterslutattribut rad med cell med rak x minus rak y är lika med 4 smala mellanrum änden av cellraden med cell med 2 raka x rakaste y är lika med 8 änden av celländen av tabellen stänga

Se Svar

Svar: x = 4, y = 0.

Använder Cramers regel.

Steg 1: bestäm determinanterna D, Dx och Dy.

Matrisen av koefficienter är:

öppna parentes tabellrad med 1 cell minus 1 ände av cellrad med 2 1 tabellände Stäng parentes

Dess avgörande:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

För beräkningen av Dx ersätter vi kolumnen med termer av x med kolumnen med oberoende termer.

öppna parentes tabellrad med 4 celler minus 1 cell ändrad med 8 1 tabellände stängda parentes

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

För beräkningen av Dy ersätter vi termerna för y med de oberoende termerna.

öppna konsoler bordsrad med 1 4 rad med 2 8 bordsändar stängda konsoler

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

steg 2: bestäm x och y.

För att bestämma x gör vi:

rak x är lika med Dx över rak D är lika med 12 över 3 är lika med 4

För att bestämma y gör vi:

rak y är lika med Dy över rak D är lika med 0 över 3 är lika med 0

fråga 4

En säljare av t-shirt och kepsar vid ett sportevenemang sålde 3 t-shirts och 2 kepsar och samlade in totalt 220,00 R$. Dagen efter sålde han 2 tröjor och 3 kepsar och samlade in R$190,00. Vad skulle priset på en T-shirt och priset på en keps vara?

a) T-shirt: 60,00 BRL | Tak: 40,00 BRL

b) T-shirt: 40,00 BRL | Tak: 60,00 BRL

c) T-shirt: 56,00 BRL | Tak: 26,00 BRL

d) T-shirt: BRL 50,00 | Tak: 70,00 BRL

e) T-shirt: 80,00 BRL | Tak: 30,00 BRL

Svar förklarat

Låt oss märka priset på T-shirts c och priset på hattar b.

För första dagen har vi:

3c + 2b = 220

För andra dagen har vi:

2c + 3b = 190

Vi bildar två ekvationer med två okända vardera, c och b. Så vi har ett system med 2x2 linjära ekvationer.

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänsterslutattribut rad med cell med 3 raka c plus 2 rak b lika med 220 slutet av cellraden med cell med 2 raka c plus 3 raka b lika med 190 slutet av celländen av tabellen stänga

Upplösning

Använda Cramers regel:

Steg 1: determinant av koefficientmatrisen.

rakt D mellanslag öppna parenteser bordsrad med 3 2 rader med 2 3 bordände stängda parenteser lika med 3,3 minus 2,2 lika med 9 minus 4 lika med 5

2:a steget: determinant Dc.

Vi ersätter kolumnen i c med matrisen av oberoende termer.

DC-mellanslag öppnar parenteser tabellrad med 220 2 rader med 190 3 tabellände nära parentes lika med 220,3 minus 2 190 lika med 660 minus 380 lika med 280

3:e steget: determinant Db.

Db öppna konsoler bordsrad med 3 220 rader med 2 190 bordsändar stängda konsoler lika med 3 utrymme. utrymme 190 utrymme minus utrymme 2 utrymme. mellanslag 220 mellanslag är lika med mellanrum 570 minus 440 är lika med 130

Steg 4: bestäm värdet på c och b.

rät linje c är lika med Dc över rät D är lika med 280 över 5 är lika med 56 rät b är lika med Db över rät D är lika med 130 över 5 är lika med 26

Svar:

Priset på T-shirten är R$56,00 och kepsen R$26,00.

fråga 5

En biograf kostar R$10,00 per biljett för vuxna och R$6,00 per biljett för barn. På en dag såldes 80 biljetter och den totala insamlingen var 700,00 R$. Hur många biljetter av varje typ såldes?

a) Vuxna: 75 | Barn: 25

b) Vuxna: 40 | Barn: 40

c) Vuxna: 65 | Barn: 25

d) Vuxna: 30 | Barn: 50

e) Vuxna: 25 | Barn: 75

Svar förklarat

Vi kommer att namnge det som De biljettpriset för vuxna och w för barn.

I förhållande till det totala antalet biljetter har vi:

a + c = 80

När det gäller det erhållna värdet har vi:

10a + 6c = 700

Vi bildar ett system av linjära ekvationer med två ekvationer och två okända, det vill säga ett 2x2-system.

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänsterslutattribut rad med cell med rakast till rakast c är lika med 80 slutet av cellraden med cell med 10 raka plus 6 raka c är lika med 700 slutet av celländen av tabellen stänga

Upplösning

Vi kommer att använda ersättningsmetoden.

Isolera a i den första ekvationen:

a = 80 - c

Ersätter a i den andra ekvationen:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Ersätter c i den andra ekvationen:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6y + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

fråga 6

En butik säljer T-shirts, shorts och skor. Den första dagen såldes 2 T-shirts, 3 shorts och 4 par skor för totalt 350,00 R$. Den andra dagen såldes 3 T-shirts, 2 shorts och 1 par skor för totalt 200,00 R$. På den tredje dagen såldes 1 T-shirt, 4 shorts och 2 par skor för totalt 320,00 R$. Hur mycket skulle en T-shirt, shorts och ett par skor kosta?

a) T-shirt: 56,00 BRL | Bermuda: 24,00 R$ | Skor: 74,00 BRL

b) T-shirt: 40,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Skor: BRL 70,00

c) T-shirt: 16,00 BRL | Bermuda: 58,00 R$ | Skor: BRL 36,00

d) T-shirt: 80,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Skor: BRL 40,00

e) T-shirt: 12,00 BRL | Bermuda: 26,00 R$ | Skor: BRL 56,00

Svar förklarat

c är priset på skjortor;
b är priset på shortsen;
s är priset på skorna.

För första dagen:

2c + 3b + 4s = 350

För andra dagen:

3c + 2b + s = 200

För tredje dagen:

c + 4b + 2s = 320

Vi har tre ekvationer och tre okända, som bildar ett 3x3-system av linjära ekvationer.

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänstra änden attribut rad med cell com 2 raka c plus 3 raka b plus 4 raka s är lika med 350 slutet av cellrad med cell med 3 raka c plus 2 raka b plus raka s är lika med 200 slutet av cellraden med cell med raka c plus 4 raka b plus 2 raka s är lika med 320 slutet av celländen av tabellen stänga

Använder Cramers regel.

Matrisen av koefficienter är

öppna konsoler bordsrad med 2 3 4 rader med 3 2 1 rad med 1 4 2 bordsände stängda konsoler

Dess determinant är D = 25.

Kolumnmatrisen med svar är:

öppna konsoler bordsrad med 350 rader med 200 rader med 320 bordsändar stängda konsoler

För att beräkna Dc ersätter vi kolumnmatrisen med svar med den första kolumnen i koefficientmatrisen.

öppna konsoler bordsrad med 350 3 4 rader med 200 2 1 rad med 320 4 2 bordsände stängda konsoler

dc = 400

För beräkning av Db:

öppna konsoler bordsrad med 2 350 4 rader med 3 200 1 rad med 1 320 2 bordsände stängda konsoler

Db = 1450

För beräkning av Ds:

öppna konsoler bordsrad med 2 3 350 rad med 3 2 200 rad med 1 4 320 bordsände stängda konsoler

Ds = 900

För att bestämma c, b och s delar vi determinanterna Dc, Db och Ds med huvuddeterminanten D.

rak c är lika med Dc över rak D är lika med 400 över 25 lika med 16 rak b lika med Db över rak D lika med 1450 över 25 lika med 58 rak s lika med Ds över rak D lika med 900 över 25 lika med 36

fråga 7

En restaurang erbjuder tre rätter: kött, sallad och pizza. Den första dagen såldes 40 kötträtter, 30 salladsrätter och 10 pizzor, totalt 700,00 R$ i försäljning. Den andra dagen såldes 20 kötträtter, 40 salladsrätter och 30 pizzor, totalt 600,00 R$ i försäljning. På den tredje dagen såldes 10 kötträtter, 20 salladsrätter och 40 pizzor, totalt 500,00 R$ i försäljning. Hur mycket skulle varje rätt kosta?

a) kött: 200,00 BRL | sallad: 15,00 R$ | pizza: BRL 10,00

b) kött: 150,00 R$ | sallad: 10,00 R$ | pizza: BRL 60,00

c) kött: 100,00 BRL | sallad: 15,00 R$ | pizza: BRL 70,00

d) kött: 200,00 BRL | sallad: 10,00 R$ | pizza: BRL 15,00

e) kött: 140,00 BRL | sallad: 20,00 R$ | pizza: BRL 80,00

Svar förklarat

Använder sig av:

c för kött;
s för sallad;
p för pizza.

På den första dagen:

40 raka c plus 30 raka s plus 10 raka p är lika med 7000

På den andra dagen:

20 raka c plus 40 raka s plus 30 raka p är lika med 6000

På den tredje dagen:

10 raka c plus 20 raka s plus 40 raka p är lika med 5000

Priset för varje rätt kan erhållas genom att lösa systemet:

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänster ände av attributrad med cell med 40 rakt c mellanslag plus mellanslag 30 rakt s mellanslag plus mellanslag 10 rakt p är lika med 7000 slutet av cellinjen med cell med 20 rakt c mellanslag plus mellanslag 40 rakt s mellanslag plus mellanslag 30 rakt p är lika med 6000 slutet av cellraden med cell med 10 raka c-mellanslag plus mellanslag 20 raka s-mellanslag plus mellanslag 40 raka p är lika med 5000 slutet av celländen av tabellen stänga

Upplösning

Använder elimineringsmetoden.

Multiplicera 20c + 40s + 30p = 6000 med 2.

öppna hakparenteser tabellrad med cell med 40 raka c plus 30 raka s plus 10 raka p är lika med 7000 slutet av cellrad med cell med 40 raka c plus 80 raka s plus 60 raka p är lika med 12000 slutet av cellrad med cell med 10 raka c plus 20 raka s plus 40 raka p är lika med 5000 slutet av cell slutet av tabellen stängs hakparentes

Subtrahera den andra matrisekvationen som erhålls från den första.

50 raka s plus 50 raka p är lika med 5000

I matrisen ovan ersätter vi denna ekvation med den andra.

öppna hakparenteser tabellrad med cell med 40 raka c plus 30 raka s plus 10 raka p är lika med 7000 slutet av cellrad med cell med 50 raka s plus 50 rak p är lika med 5000 slutet av cellrad med cell med 10 raka c plus 20 raka s plus 40 raka p är lika med 5000 slutet av cell slutet av tabellen stänger hakparentes

Vi multiplicerar den tredje ekvationen ovan med 4.

Om vi subtraherar den tredje från den första ekvationen får vi:

50 raka s plus 150 raka p är lika med 13000

Ersätter ekvationen som erhålls med den tredje.

Om vi subtraherar ekvationerna två och tre har vi:

öppna hakparenteser tabellrad med cell med 40 c plus 30 s plus 10 p är lika med 7000 slutet av cellrad med cell med 50 s plus 50p är lika med 5000 slutet av cellraden med cell med 100p lika med 8000 slutet av cell slutet av tabellen stängs hakparentes

Från den tredje ekvationen får vi p = 80.

Ersätter p i den andra ekvationen:

50s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50s = 1000

s = 1000/50 = 20

Ersätter värdena på s och p i den första ekvationen:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Lösning

p=80, s=20 och c=140

fråga 8

(UEMG) I planen, systemet öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänsterslut attribut rad med cell med 2 raka x plus 3 raka y är lika med minus 2 slutet av cellraden med cell med 4 raka x minus 6 raka y är lika med 12 slutet av celländen av tabellen stänga representerar ett par linjer

a) sammanträffande.

b) distinkt och parallell.

c) samtidiga linjer vid punkten ( 1, -4/3 )

d) samtidiga linjer vid punkten ( 5/3, -16/9 )

Svar förklarat

Multiplicera den första ekvationen med två och addera de två ekvationerna:

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänsterkantattribut rad med cell med rak Ett kolon 4 rakt x plus 6 rakt y är lika med minus 4 slutet av cellrad med cell med rak B två punkter 4 rak x minus 6 rak y är lika med 12 änden av celländen av tabell stäng spacer Ett mellanslag plus rakt mellanslag B är lika med 8 rakt x lika med 8 rakt x lika med 8 över 8 lika med 1

Ersätter x i ekvation A:

4.1 mellanslag plus mellanslag 6 y mellanslag är lika med mellanrum minus 4 mellanslag mellanslag 6 y mellanrum är lika med mellanrum minus 4 mellanslag minus mellanslag 46 y är lika med minus 8y är lika med täljare minus 8 över nämnare 6 slutet av bråket är lika med minus 4 ungefär 3

fråga 9

(PUC-MINAS) Ett visst laboratorium skickade 108 beställningar till apoteken A, B och C. Det är känt att antalet beställningar som skickades till apotek B var dubbelt så många som det totala antalet beställningar som skickades till de två andra apoteken. Dessutom skickades tre beställningar mer än hälften av den mängd som skickades till apotek A till apotek C.

Baserat på denna information är det RÄTT att konstatera att det totala antalet beställningar som skickades till apotek B och C var

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

Svar förklarat

Enligt uttalandet har vi:

A + B + C = 108.

Dessutom att mängden B var dubbelt så stor som A + C.

B = 2(A + C)

Tre beställningar skickades till apotek C, mer än hälften av kvantiteten skickades till apotek A.

C = A/2 + 3

Vi har ekvationer och tre okända.

öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänster ände av attribut rad med cell med rak A rakaste B rakaste C är lika med 108 slutet av cellrad med cell med rak B är lika med 2 vänster parentes rak A plus rak C höger parentes slutet av cellraden med cell med rak C är lika med rak A över 2 plus 3 slutet av celländen av tabellen stänga

Använder substitutionsmetoden.

Steg 1: ersätt den tredje med den andra.

rak B är lika med 2 raka A mellanslag plus mellanslag 2 raka Creto B är lika med 2 raka Ett mellanslag plus mellanrum 2 öppnar hakparenteser A över 2 plus 3 Stäng parentes B är lika med 2 raka A mellanslag plus mellanslag A mellanslag plus mellanslag 6 kvadrat B är lika med 3 kvadrat A mellanslag plus mellanslag 6

Steg 2: Ersätt det erhållna resultatet och den tredje ekvationen i den första.

raka A plus raka B plus raka C är lika med 108 raka A plus mellanslag 3 raka A plus 6 mellanslag plus raka mellanrum A över 2 plus 3 mellanrum lika med mellanrum 1084 raka A mellanslag plus rakt mellanslag A över 2 är lika med 108 mellanslag minus mellanslag 9täljare 9 rakt A över nämnare 2 slutet av bråk är lika med 999 rakt Ett mellanslag är lika med mellanrum 99 Plats. mellanslag 29 rakt Ett mellanslag är lika med mellanrum 198 rakt Ett mellanrum är lika med mellanrum 198 över 9 rakt Ett mellanslag är lika med mellanrum 22

Steg 3: Byt ut värdet på A för att bestämma värdena på B och C.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

För C:

linje C är lika med 22 över 2 plus 3 rad C är lika med 11 plus 3 är lika med 14

Steg 4: lägg till värdena för B och C.

72 + 14 = 86

fråga 10

(UFRGS 2019) Så att systemet med linjära ekvationer öppna klammerparenteser tabellattribut kolumnjustering vänsterslutattribut rad med cell med rakt x plus rak y är lika med 7 änden av cellraden med cell med ax plus 2 raka y är lika med 9 änden av celländen av tabellen stänga möjligt och bestämt, det är nödvändigt och tillräckligt att

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

Svar förklarat

Ett av sätten att klassificera ett system som möjligt och bestämma är genom Cramers metod.

Förutsättningen för detta är att determinanterna skiljer sig från noll.

Göra determinanten D för huvudmatrisen lika med noll:

öppna konsoler bordsrad med 1 1 rad med en 2 bordsände stängda parentes inte lika med 01 mellanslag. mellanslag 2 mellanslag minus mellanslag för mellanslag. utrymme 1 inte lika 02 utrymme mindre än inte lika 02 inte lika med

För att lära dig mer om linjära system:

Linjära system: vad de är, typer och hur man löser dem
Ekvationssystem
Skalning av linjära system
Cramers regel

För fler övningar:

Ekvationssystem av 1:a graden

ASTH, Rafael. Övningar om lösta linjära system.All Matter, [n.d.]. Tillgänglig i: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Tillgång på:

Se också