Ett ungefärlig kvadratrot är en finit representation av a irrationellt tal. I många fall när man arbetar med kvadratrötter, en uppskattning med några decimaler räcker för våra beräkningar.
Kalkylatorn är ett viktigt verktyg i denna process. Dess display, som har begränsat utrymme, indikerar en bra approximation för icke-exakta kvadratrötter. Men det är också möjligt att hitta dessa uppskattningar utan hjälp av en miniräknare, som vi kommer att se nedan.
Läs också: Rooting – allt om den omvända potentieringsoperationen
Ungefärlig kvadratrotssammanfattning
En inexakt kvadratrot är ett irrationellt tal.
Vi kan hitta ungefärliga värden för icke-exakta kvadratrötter.
Noggrannheten av approximationen beror på antalet decimaler som används.
Approximationen kan göras på olika sätt, bland annat med hjälp av miniräknaren.
Att hitta en y-approximation till kvadratroten ur x betyder att y² är mycket nära x, men y² är inte lika med x.
Videolektion om ungefärlig kvadratrot
Hur räknar man ut den ungefärliga kvadratroten?
Det finns olika sätt för att beräkna approximationen av en kvadratrot. En av dem är miniräknaren! Till exempel när vi skriver \(\sqrt{2}\) på räknaren och klicka på =, det resulterande talet är en approximation. Detsamma gäller med \(\sqrt{3}\) Det är \(\sqrt{5}\), som också är icke-exakta kvadratrötter, det vill säga de är irrationella tal.
Ett annat sätt är att använda exakta rötter nära den studerade icke-exakta roten. Detta låter dig jämföra decimalrepresentationerna och hitta ett intervall för den icke-exakta roten. Således kan vi testa några värden tills vi hittar en bra approximation.
Det låter svårt, men oroa dig inte: det är en testprocess. Låt oss titta på några exempel.
Exempel
Hitta en approximation till två decimaler för \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
inse det \(\sqrt{4}\) Det är \(\sqrt{9}\) är de närmaste exakta rötterna till \(\sqrt{5}\). Kom ihåg att ju större radicand, desto större kvadratrotsvärde. Således kan vi dra slutsatsen att
\(\sqrt{4}
\(2
d.v.s. \(\sqrt5\) är ett tal mellan 2 och 3.
Nu är det dags för testning: vi väljer några värden mellan 2 och 3 och kontrollerar om varje kvadrattal närmar sig 5. (Kom ihåg det \(\sqrt5=a\) om \(a^2=5\)).
För enkelhetens skull, låt oss börja med siffror med en decimal:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Observera att vi inte ens behöver fortsätta att analysera tal med en decimal: talet vi letar efter är mellan 2,2 och 2,3.
\(2,2
Nu, när vi letar efter en approximation med två decimaler, låt oss fortsätta med testerna:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Återigen kan vi stoppa analysen. Siffran du letar efter är mellan 2,23 och 2,24.
\(2,23
Men och nu? Vilket av dessa värden med två decimaler väljer vi som en approximation av \(\sqrt5\)? Båda är bra alternativ, men observera att det bästa är det vars kvadrat är närmast 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
d.v.s. \(2,24^2 \) är närmare 5 än \(2,23^2\).
Således den bästa approximationen till två decimaler för \(\sqrt5\) é 2,24. Det skriver vi \(\sqrt5≈2,24\).
Hitta en approximation till två decimaler för \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Vi skulle kunna börja på samma sätt som i föregående exempel, det vill säga leta efter exakta rötter vars radikander är nära 20, men observera att det är möjligt att minska värdet på radikanden och underlätta konton:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Observera att vi utförde nedbrytningen av radicand 20 och använde en rotningsegenskap.
Nu hur \(\sqrt20=2\sqrt5\), kan vi använda approximationen med två decimaler till \(\sqrt5\) från föregående exempel:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Observation: Eftersom vi använder ett ungefärligt tal (\(\sqrt5≈2,24\)), värdet 4,48 kanske inte är den bästa approximationen med två decimaler för \(\sqrt{20}\).
Läs också: Hur beräknar man kubikroten av ett tal?
Skillnader mellan ungefärlig kvadratrot och exakt kvadratrot
En exakt kvadratrot är a rationellt tal. inse det \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) Det är \(\sqrt{121}\) är exempel på exakta kvadratrötter, som \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) Det är \(\sqrt{121}=11\). Dessutom, när vi tillämpar den omvända operationen (det vill säga potentiering med exponent 2) får vi radikanden. I de tidigare exemplen har vi \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) Det är \(11^2=121\).
En inexakt kvadratrot är ett irrationellt tal (det vill säga ett tal med oändliga icke-repeterande decimaler). Därför använder vi approximationer i dess decimalrepresentation. inse det \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) Det är \(\sqrt6\) är exempel på icke-exakta rötter, eftersom \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1,7320508\) Det är \(\sqrt6≈2.44949\). Dessutom, när vi tillämpar den inversa operationen (det vill säga potentiering med exponent 2), får vi ett värde nära radikanden, men inte lika. I de tidigare exemplen har vi \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) Det är \(2,44949^2=6,00000126\).
Lösta övningar på ungefärlig kvadratrot
fråga 1
Ordna följande siffror i stigande ordning: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Upplösning
inse det \(\sqrt{150}\) är en icke-exakt kvadratrot och \(\sqrt{144}\) är exakt (\(\sqrt{144}=12\)). Således behöver vi bara identifiera positionen för \(\sqrt{150}\).
anteckna det \(13=\sqrt{169}\). Med tanke på att ju större radicand, desto större värde på kvadratroten, har vi det
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Därför har vi ordna siffrorna i stigande ordning
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
fråga 2
Bland följande alternativ, vilket är den bästa approximationen med en decimal för talet \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7,8
e) 8.1
Upplösning
Alternativ C
anteckna det \(\sqrt{49}\) Det är \(\sqrt{64}\) är de närmaste exakta kvadratrötterna av \(\sqrt{54}\). Som \(\sqrt{49}=7\) Det är \(\sqrt{64}=8\), Vi måste
\(7
Låt oss se några möjligheter till approximation med en decimal för \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Observera att det inte är nödvändigt att fortsätta med testerna. Bland alternativen är 7,3 också den bästa approximationen till en decimal för \(\sqrt{54}\).
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm
