symmetrisk matris är huvudkontor där varje element \(a_{ij}\) är lika med elementet \(a_{ji}\) för alla värden av i och j. Följaktligen är varje symmetrisk matris lika med dess transponering. Det är också värt att nämna att varje symmetrisk matris är kvadratisk och att huvuddiagonalen fungerar som en symmetriaxel.
Läs också:Matrisaddition och subtraktion — hur räknar man?
Abstrakt om symmetrisk matris
I en symmetrisk matris, \(a_{ij}=a_{ji}\) för alla i och j.
Varje symmetrisk matris är kvadratisk.
Varje symmetrisk matris är lika med dess transponering.
Elementen i en symmetrisk matris är symmetriska kring huvuddiagonalen.
I den symmetriska matrisen \(a_{ij}=a_{ji}\) för alla i och j; i en antisymmetrisk matris, \(a_{ij}=-a_{ji}\) för alla i och j.
Vad är en symmetrisk matris?
En symmetrisk matris är en kvadratisk matris där \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) för varje i och varje j. Detta innebär att \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), och så vidare, för alla möjliga värden av i och j. Kom ihåg att de möjliga värdena för i motsvarar raderna i matrisen och de möjliga värdena för j motsvarar matrisens kolumner.
Exempel på symmetriska matriser
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Exempel på icke-symmetriska matriser (överväg \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Viktig: Att säga att en matris inte är symmetrisk betyder att visa det \(a_{ij}≠a_{ji}\) för åtminstone några i och j (vilket vi kan se genom att jämföra de tidigare exemplen). Detta skiljer sig från det antisymmetriska matriskonceptet, som vi kommer att se senare.
Vilka egenskaper har den symmetriska matrisen?
Varje symmetrisk matris är kvadratisk
Observera att definitionen av en symmetrisk matris är baserad på kvadratiska matriser. Således har varje symmetrisk matris samma antal rader som antalet kolumner.
Varje symmetrisk matris är lika med dess transponering
Om A är en matris, är dess införlivats (\(A^T\)) definieras som matrisen vars rader är kolumnerna i A och vars kolumner är raderna i A. Så om A är en symmetrisk matris har vi \(A=A^T\).
I den symmetriska matrisen "reflekteras" elementen med avseende på huvuddiagonalen
Som \(a_{ij}=a_{ji}\) i en symmetrisk matris är elementen ovanför huvuddiagonalen "reflektioner" av elementen nedanför av diagonalen (eller vice versa) i förhållande till diagonalen, så att huvuddiagonalen fungerar som en axel för symmetri.
Vilka är skillnaderna mellan den symmetriska matrisen och den antisymmetriska matrisen?
Om A är en symmetrisk matris, då \(a_{ij}=a_{ji}\) för alla i och alla j, som vi studerade. När det gäller den antisymmetriska matrisen är situationen annorlunda. Om B är en antisymmetrisk matris, då \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) för varje i och varje j.
Observera att detta resulterar i \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), det är, de huvudsakliga diagonala elementen är noll. En konsekvens av detta är att transponeringen av en antisymmetrisk matris är lika med dess motsats, det vill säga om B är en antisymmetrisk matris, då \(B^T=-B\).
Exempel på antisymmetriska matriser
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Se också: Identitetsmatris — matrisen där de diagonala huvudelementen är lika med 1 och de återstående elementen är lika med 0
Lösta övningar på symmetrisk matris
fråga 1
(Unicentro)
om matrisen \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) är symmetrisk, så värdet på xy är:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Upplösning:
Alternativ A
Om den givna matrisen är symmetrisk, då är elementen i symmetriska positioner lika (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Därför måste vi:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Byter ut den första ekvation i den andra drar vi slutsatsen att \(y=3\), snart:
\(x=2\) Det är \(xy=6\)
fråga 2
(UFSM) Att veta att matrisen \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) är lika med dess transponering, värdet av \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Upplösning:
Alternativ C
Eftersom den givna matrisen är lika med dess transponering, är den en symmetrisk matris. Således är element i symmetriska positioner lika (\(a_{ij}=a_{ji}\)), dvs:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Med den första ekvationen, x=-6 eller x=6. Genom den tredje ekvationen får vi rätt svar: x= -6. Med den andra ekvationen, y=11.
Snart:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm