A andel gyllene eller gudomlig proportion är en jämlikhet förknippad med idéer om harmoni, skönhet och perfektion. Euklid av Alexandria, grekisk matematiker som levde omkring 300 f.Kr. C., var en av de första tänkarna att formalisera detta koncept som fram till idag fascinerar forskare från olika områden.
Anledningen till detta intresse är att det gyllene snittet kan observeras på ett ungefärligt sätt i naturen, inklusive i växternas frön och blad och i människokroppen. Följaktligen är det gyllene snittet föremål för studier av olika yrkesverksamma, såsom biologer, arkitekter, konstnärer och designers.
Läs också: Tal pi — en av de viktigaste konstanterna i matematik
Sammanfattning om det gyllene snittet
Det gyllene snittet är förhållandet för \(a>b>0\) Så att
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Under dessa förhållanden, anledningen DeB kallas det gyllene snittet.
Det gyllene snittet är kopplat till föreställningar om balans, renhet och perfektion.
Den grekiska bokstaven ϕ (läs: fi) representerar det gyllene talet, som är konstanten som erhålls från det gyllene snittet.
I Fibonacci-sekvensen närmar sig kvoterna mellan varje term och dess föregångare det gyllene talet.
Den gyllene rektangeln är en rektangel vars sidor är i det gyllene snittet.
Vad är det gyllene snittet?
Betrakta ett linjesegment som är uppdelat i två delar: det större av måtten De och den minsta B. inse det a+b är måttet på hela segmentet.
det gyllene snittet är jämlikhet bland orsakerna\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Det är \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), dvs
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
I det här sammanhanget säger vi det De Det är B är i det gyllene snittet.
Men för vilka värden De Det är B har vi det gyllene snittet? Det är vad vi får se härnäst.
Hur beräknar man det gyllene talet?
Anledningen \(\frac{a}b\)(eller på samma sätt, Anledningen \(\frac{a+b}a\)) resulterar i en konstant som kallas det gyllene talet och representeras av den grekiska bokstaven ϕ. Det är alltså vanligt att skriva
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
För att beräkna det gyllene talet, låt oss betrakta det gyllene snittet för b = 1. Således kan vi lätt hitta värdet på De och få ϕ från jämlikhet \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Observera att vi kan skriva det gyllene snittet enligt följande, med hjälp av korsmultiplikationsegenskapen:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Genom att ersätta b = 1 har vi
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Tillämpa Bhaskaras formel för denna andragradsekvation drar vi slutsatsen att den positiva lösningen av De é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Som De är ett mått på ett segment, kommer vi att bortse från den negativa lösningen.
Så hur \(\frac{a}b=ϕ\), Det exakta värdet på det gyllene numret är:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Att beräkna kvoten får vi Det ungefärliga värdet av det gyllene talet:
\(ϕ≈1,618033989\)
Se också: Hur löser man matematiska operationer med bråk?
Golden Ratio och Fibonacci-sekvensen
A Fibonacci-sekvensen är en lista med siffror där varje term, med början från den tredje, är lika med summan av de två föregångarna. Låt oss titta på de första tio termerna i denna sekvens:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
När vi beräknar kvoten mellan varje term och dess föregångare i Fibonacci-sekvensen, vi närmar oss det gyllene numret ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666...\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153...\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904...\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764...\)
Gyllene snittet och den gyllene rektangeln
Ett rektangel där den längsta sidan De och den mindre sidan B är i det gyllene snittet det kallas den gyllene rektangeln. Ett exempel på en gyllene rektangel är en rektangel vars sidor mäter 1 cm och \(\frac{1+\sqrt5}2\) centimeter.
Veta mer: Vad är direkt proportionella mängder?
Tillämpningar av det gyllene snittet
Observera att vi hittills endast har studerat det gyllene snittet i abstrakta matematiska sammanhang. Därefter kommer vi att se några tillämpade exempel, men försiktighet behövs: det gyllene snittet presenteras inte exakt i något av dessa fall. Det som finns är analyser av olika sammanhang där det gyllene numret visas såungefärlig.
Gyllene snittet i arkitektur
Vissa studier hävdar att uppskattningar av antalet guld observeras i vissa förhållanden av dimensionerna av Cheopspyramiden i Egypten och FN: s högkvartersbyggnad i New York.
Gyllene snittet i människokroppen
Människokroppsmått varierar från en person till en annan, och det finns ingen perfekt kroppstyp. Men åtminstone sedan antikens Grekland har det förekommit debatter om en matematiskt idealisk kropp (och totalt ouppnåelig i verkligheten), med åtgärder relaterade till det gyllene snittet. I detta teoretiska sammanhang kan t.ex. förhållandet mellan en persons höjd och avståndet mellan naveln och marken skulle vara det gyllene talet.
gyllene snittet i konsten
Det finns forskning om verken "The Vitruvian Man" och "Mona Lisa", av italienaren Leonardo da Vinci, vilket tyder på att användning av gyllene rektanglar.
Gyllene snittet i naturen
Det finns studier som pekar på en förhållandet mellan det gyllene snittet och sättet på vilket bladen hos vissa växter är fördelade på en stam. Detta arrangemang av löv kallas phyllotaxi.
Gyllene snittet i design
Det gyllene snittet studeras och används också inom området design som en projektkompositionsverktyg.
Lösta övningar på gyllene snittet
fråga 1
(Enem) Ett linjesegment är uppdelat i två delar i det gyllene snittet när helheten är till en av delarna i samma förhållande som denna del är till den andra. Denna proportionalitetskonstant representeras vanligtvis av den grekiska bokstaven ϕ, och dess värde ges av den positiva lösningen av ekvationen ϕ2 = ϕ+1.
Precis som kraften \(ϕ^2\), kan de högre potenserna av ϕ uttryckas i formen \(aϕ+b\), där a och b är positiva heltal, som visas i tabellen.
styrkan \(ϕ^7\), skrivet på formen aϕ+b (a och b är positiva heltal), är
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Upplösning
Som \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Vi måste
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Tillämpning av distributionen,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Som \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternativ.
fråga 2
Betygsätt varje påstående nedan om det gyllene talet som T (sant) eller F (falskt).
i. Det gyllene talet ϕ är irrationellt.
II. Kvotienterna mellan varje term och dess föregångare i Fibonacci-sekvensen närmar sig värdet av ϕ.
III. 1,618 är avrundningen till tre decimaler av det gyllene talet ϕ.
Den korrekta sekvensen, från topp till botten, är
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Upplösning
i. Sann.
II. Sann.
III. Sann.
Alternativ A.
Källor
FRANCISCO, S.V. från L. Mellan fascinationen och verkligheten i det gyllene snittet. Avhandling (Professional Master's Degree in Mathematics in National Network) – Institute of Biosciences, Letters and Exact Sciences, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Tillgänglig i: http://hdl.handle.net/11449/148903.
FÖRSÄLJNING, J. från S. Det gyllene snittet som finns i naturen. Slutförande av kursarbete (examen i matematik), Federal Institute of Education, Science and Technology i Piauí. Piauí, 2022. Tillgänglig i http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
